Entender a Refração da Luz, com a fuga do Lucas à polícia

Fonte: Wikipédia.

A refração da luz ocorre quando um feixe de luz, na imagem a vermelho, muda de um meio para outro meio com índice de refração diferente, ou seja, nestes diferentes meios (ar e água, por exemplo), a luz tem velocidades diferentes. Sabemos que a luz tem uma velocidade, que de acordo com a física moderna, representa o limite de velocidade máxima que alguma matéria com massa consegue atingir. Mas normalmente a velocidade da luz é apresentada como sendo a velocidade da luz no vácuo, sendo esta simbolizada pela letra c, e sendo igual a 299,792,458 metros por segundo. Para fácil memorizar, pode-mo-la aproximar a 300 mil km/s. Este valor representa sempre a velocidade da luz no vácuo, pois por exemplo a velocidade da luz no germânio é "apenas" cerca de 75 mil km/s, um valor bem inferior.

A fórmula que nos indica a relação entre os ângulos de incidência e refração, quando a luz atravessa de um meio para outro meio, é denominada por lei de Snell ou lei de Descartes. Mais precisamente, esta fórmula dá-nos o desvio angular sofrido por um raio de luz ao passar para um meio com índice de refração diferente do qual este estava percorrendo:

Para sabermos o índice de refração n de cada um dos meios, basta aplicarmos a seguinte fórmula:

Onde n é o índice de refração do meio escolhido (ar ou água, por exemplo); c é a velocidade da luz no vácuo (constante); e v é a velocidade que a luz tem no meio escolhido. Ou seja, basta dividir a velocidade da luz no vácuo pela velocidade da luz no meio escolhido, para termos o índice de refração desses mesmo meio. É por sabermos que o índice de refração n do germânio é aproximadamente igual a 4, que podemos inferir então que a velocidade da luz no germânio é cerca de 300 mil km/s a dividir por 4, ou seja, cerca de 75 mil km/s, como anteriormente referido.

Mas porque motivo um feixe de luz não segue "sempre em frente", e "desvia-se" quando passa de um meio para outro? E porque motivo a luz apenas se desvia quando entre num meio diferente na diagonal, ou seja "de lado", visto que quando o feixe de luz entra mesmo "de frente", ou seja, numa direção perpendicular à linha que separa os dois meios, a luz já não "se desvia"? Porquê?

A fuga do Lucas à polícia

O dia-a-dia do Lucas, bandido profissional, responde às perguntas anteriores. Imaginemos que o Lucas foge à polícia na sua favela, favela essa que conhece com bastante detalhe. Vem de um beco no fundo do lado esquerdo da imagem, e precisa de fugir para o topo do lado direito, para outro beco na favela. Mas entre os becos existe uma estrada de alcatrão, a cinzento na imagem, e uma pequena lagoa sem corrente, ou seja, com águas paradas, representada a azul e situada entre a estrada de alcatrão e o beco por onde o Lucas precisa de fugir da polícia. Qual o objetivo do Lucas? Obviamente chegar o mais rapidamente ao seu destino, visto que está a ser perseguido pela polícia ao longo dos becos da favela. E que trajeto deve tomar o Lucas? Normalmente, caso o meio que atravessa seja sempre o mesmo, o trajeto evidente é uma linha reta. Mas neste caso sabemos que o Lucas corre muito mais rapidamente do que nada, aliás como quase todas as pessoas. Logo, existirá um ponto divisório na transição entre o alcatrão e a lagoa, que minimiza o tempo que o Lucas leva a percorrer de um beco ao outro. E que ponto é esse? Embora o Lucas tenha um feeling, algo intuitivo visto conhecer bem a sua favela, que não deve seguir em linha reta para que possa chegar o mais rapidamente possível ao seu destino, é preciso "colocar a mão na massa" na Matemática, para achar com exatidão o referido ponto divisório entre estes dois meios.

O Lucas foge à polícia de um beco para outro beco, através de uma estrada de alcatrão onde corre e de uma lagoa onde nada. Qual o trajeto que o Lucas deverá fazer, para que o tempo que demora entre os dois becos seja o menor possível? Isto é, qual o trajeto que deverá fazer para chegar o mais rapidamente possível ao outro beco?

Assumamos os seguintes dados: a largura da estrada de alcatrão é d₁, e a largura da lagoa, admitamos retangular, é d₂. No alcatrão a velocidade do Lucas a correr é v₁ e na lagoa a sua velocidade a nadar é v₂. O ponto que queremos achar é a distância x, ou seja, a distância ao longo da direção da linha que separa os dois meios, entre o ponto de entrada do Lucas no alcatrão e o ponto de entrada na água. O ângulo de entrada na transição entre o alcatrão e a lagoa é θ₁ e o ângulo de saída dessa mesma transição é θ₂.

Sabemos que a velocidade média de um objeto é a variação do espaço percorrido em linha reta, sobre o tempo percorrido ao longo dessa linha:

Logo, concluímos que a variação do tempo, ou seja, o tempo decorrido é:

Também sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que o espaço percorrido pelo Lucas, entre o ponto que entra no alcatrão e o ponto em que entra na água, ou seja, o espaço percorrido ao longo do alcatrão, é:

Equivalentemente, também sabemos pela imagem que o espaço percorrido pelo Lucas na água, é

Logo, combinando as fórmulas apresentadas, podemos concluir que o tempo total T que o Lucas demora a percorrer o alcatrão mais a água, é:

Agora que temos a função que correlaciona o tempo total do Lucas, ao longo do alcatrão e da água, em função da distância x, queremos achar o valor x que minimiza o valor T. Ou seja, estamos perante um exercício de otimização. Como em qualquer exercício de otimização, precisamos de cálculo diferencial, quer isto dizer que precisamos de achar a derivada de primeira ordem de T em função de x, e igualar tal derivada a zero para achar os extremos da função, neste caso, acharmos o mínimo da função T em função de x. Mais concretamente, precisamos de resolver a seguinte equação:

Considerando que lidamos com raízes, recordemos a regra das derivadas das raízes:

Logo, concluímos então, que:

Ou seja, queremos resolver a seguinte equação:

Resolver esta equação em função de x e de forma analítica, é deveras complexo, e após tentar resolver, chegamos a um polinómio de x de grau quatro, que não tem solução simples e evidente.

Todavia, considerando as regras de trigonometria, sabemos que o seno de um determinado ângulo num triângulo retângulo, é o cateto oposto a dividir sobre a hipotenusa. Logo, olhando para a imagem lá em cima, conseguimos deduzir as seguintes relações trigonométricas:

Logo, juntando estas duas últimas funções, concluímos que

Sabendo de antemão a regra que correlaciona os índices de refração com a velocidade, apresenta logo no início do artigo, podemos concluir que:

Logo, da equação anterior dos senos, conclui-se:

Resultando assim na famosa lei de Snell-Descartes, lei de Snell ou lei de Descartes.

Conclusão

Concluímos que se o Lucas garantir que o seno do ângulo de incidência dividido pela velocidade no alcatrão for igual ao seno do ângulo de saída dividido pela velocidade na água, o tempo que o Lucas fará será sempre o mínimo possível, independentemente das posições dos becos e das dimensões da estrada ou da lagoa. A luz, tal como o Lucas que foge à polícia, obedece ao mesmo princípio, ou seja, a luz "desvia-se" para que o tempo que o feixe de luz percorre entre dois pontos possíveis, seja sempre o menor tempo possível, independentemente das distâncias envolvidas ou do ângulo de entrada.