A Física-Matemática no Consumo vs. Velocidade de um automóvel

Consumo versus velocidade para vários modelos de automóvel
Fonte: energy-ecology

Muitos testes automóveis, assim como os indicadores dos veículos, concluem que a velocidade onde o consumo é menor, é no intervalo entre cerca de 50 km/h e 80 km/h. Mas porquê? Faremos as respetivas deduções físico-matemáticas.

Leis de Newton

Num carro em movimento atuam essencialmente duas forças, a Força Motriz (F_m) do motor e a Força de atrito (F_a). Esta força de atrito tem essencialmente duas componentes, que é a força de atrito mecânico-dinâmica, que se encontra nos rolamentos e nas peças circulantes do carro, e que pelas leis da Física depende linearmente da velocidade; e a força de atrito aerodinâmica entre o carro e a atmosfera envolvente, que pelas mesmas leis da Física depende do quadrado da velocidade.

Essa força de atrito (F_a) poderá ser escrita então como:

A força (F) resultante no automóvel será então a força motriz menos a força de atrito:

Sabe-se pelas leis de Newton que:

logo, ficamos com a seguinte equação diferencial:

Consumo de combustível

O consumo de combustível do motor por unidade de tempo (r) num motor de combustão, para um funcionamento num ponto específico, é proporcional à Potência Motriz (P_m) do motor, mais uma constante (k) que serve para manter apenas o motor a trabalhar, como por exemplo, quando este está no ralenti, ou seja:

onde r é o consumo em litros por segundo (l/s). Sabemos todavia que a Potência é a variação de Energia sobre o tempo, e que a Energia ou o Trabalho, é a força vezes o deslocamento, então:

logo

reparemos que r é medido em litros por segundo que v é medido em metros por segundo, logo

concluindo-se que o consumo do veículo (c), em unidade de volume de combustível (litros), por unidade de espaço (metros), é dada pela seguinte expressão

Podemos agora colocar a equação acima em ordem à Força Motriz, ficando:

logo, juntando as fórmulas da equação diferencial lá de cima com esta última, temos:

para velocidades constantes v'=0, logo

Teste matemático

Faremos o teste matemáticos mais simples, assumindo

ou seja, desconsiderando por completo fatores de escala. O gráfico é o seguinte, o que se assemelha com os testes práticos do primeiro gráfico.