Como encontrar raízes de polinómios de terceiro grau

Este é de facto um tema não debatido ao longo da nossa formação em Matemática, mas definitivamente muito útil nas mais diversas tarefas com que alguém se pode deparar, desde a simples análise da expressão de uma função até ao cálculo de limites, integrais, etc. Note-se que existe sempre pelo menos uma raiz real de um polinómio de terceiro grau, pelo que este problema tem sempre, pelo menos, uma solução real.

Antes de mais, devemos recordar o teorema fundamental da álgebra e as implicações naturais que derivam deste. O resultado mais relevante que daqui se pode retirar é:

Dado um polinómio complexo de ordem n,

este terá n raízes complexas

(excluindo multiplicidades) e podemos escrever:

Num contexto real, devemos ter em conta que poderão não existir as n raízes, mas nunca poderá dar-se o caso de nenhuma raiz existir. A minha sugestão é proceder-se sempre ao cálculo das raízes complexas e, se o exercício apenas tomar uma dimensão real, desconsiderar as raízes em que a parte imaginária é diferente de zero. Tendo em conta o uso da fórmula resolvente, o facto de se considerar números complexos não obrigada a um vasto conhecimento desta área, mas antes da igualdade fundamental desta dimensão

Portanto o problema de encontrar raízes de terceiro grau é resumido ao problema de encontrar uma raiz em um polinómio de terceiro grau. Muito honestamente, isto usualmente faz-se por um processo tentativa erro, apesar de existir uma "fórmula resolvente" para polinómios do terceiro grau (com uma expressão geral pouco prática)

Posto tudo isto, então como se procede para encontrar as raízes de um polinómio de terceiro grau? De uma forma geral, podemos definir este polinómio como:

onde a, b, c, d são os coeficientes, constantes, do polinómio de terceiro grau. Ora, d não depende de x, portanto faz sentido tentar igualar tudo o que depende da nossa variável a este valor independente. Para isso, tomamos os divisores de d, isto é, os números que permitam que a divisão de d por eles dê resto nulo. Um desses divisores será uma raiz do polinómio e, através desta, podemos fatorizar o polinómio de terceiro grau num produto de um polinómio de primeiro grau com um de segundo.

Finalmente, podemos aplicar a fórmula resolvente ao polinómio que obtemos como coeficiente desta divisão de polinómios e encontrar as restantes raízes do polinómio de terceiro grau. Note-se que esta não é uma técnica infalível mas apenas uma muito útil na grande maioria dos casos. Para além desta, costuma ser útil colocar x em evidência, ou expressões de primeiro grau, dado que assim já determinámos uma raiz para o problema.

Nota: A divisão supra referida pode ser simplesmente feita através da chamada regra de Ruffini; um exemplo explicado pode ser encontrado em http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html.

Por exemplo, tomemos o polinómio

Os divisores de 1 são 1 e -1. Substituindo x por -1 na expressão percebemos que este é de facto uma raiz do polinómio. Assim, temos que

Claramente que

e realizando a divisão dos polinómios chegamos a

e este último terá como raízes i e -i. Assim, as raízes de P(x) são -1, i e -i.

Este mesmo processo pode ser aplicado a polinómios com coeficientes diferentes da unidade. Seja

os divisores de 18 são 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9. Claro que o processo parece moroso, tendo em conta o número de divisores de 18 tem, mas à priori podemos, fazendo aquilo a que se chama uma análise "a olho", excluir 9, -9, 6, -6 dado queeque são números demasiado elevados para conseguirmos anular com o remanescente da expressão) e (por um motivo contrário) 1 e -1. Testando chegaríamos mesmo a que -3 é raiz do polinómio e assim ficávamos com:

e de uma forma natural seríamos capazes de determinar que as raízes do polinómio serão:

Quando nenhuma manipulação ou teste permitir chegar a qualquer raiz do polinómio (que não deverá acontecer em qualquer cadeira/disciplina de matemática que tomem ao longo da formação académica) sobram os processos numéricos, como o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson, ou a "fórmula resolvente" para grau 3, que pode ser encontada em "Press, William H.; Vetterling, William T. (1992). Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-43064-X".