Dívida, Défice e Crescimento; como interagem?

Muitos poderão pensar que a dívida pública e o défice público, se cingem a questões de opções políticas, mas na realidade uma das ciências que está bem presente em finanças públicas e economia, é a matemática. A iliteracia matemática de um certo povo, pode explicar em parte, o desequilíbrio que esse país tem nas suas finanças públicas, pois as mesmas nos estados democráticos, são muito afetadas por escolhas políticas. O modelo apresentado é um modelo simplificado, baseado em sistemas dinâmicos discretos, que explica como interagem a dívida, o défice e o crescimento económico de um Estado. 

O défice público, simplificando, é a diferença entre as despesas e as receitas de um Estado. Quando um país tem mais receitas que despesas, tem superavit, ou excedente orçamental; quando esse país tem mais despesas que receitas, esse país tem défice. Quando há défice orçamental, o país necessita de contrair dívida para colmatar esse défice, que pagará com juros. Assim, um modelo simplificado do sistema poderá ser o seguinte

onde DV_k, TJ_k e DF_k são a Dívida, a Taxa de juro em percentagem e o Défice respetivamente no ano k. É fácil perceber que a Dívida no ano k+1, será a Dívida no ano k mais a componente dos juros, somando ainda o Défice do ano k.

Este modelo não inclui engenharias financeiras, nem contabilidade paralela, como sucedeu em Portugal com swaps, PPPs, ou dívidas contraídas pelas empresas públicas, se essas despesas não constarem nas contas oficiais do défice. Este modelo também obedece a outra simplificação. O Estado por norma contrai dívida através dos chamados títulos de dívida pública, emitidos com um certo prazo de maturidade, estando aquando da sua emissão já definidos a taxa de juro e o prazo. No modelo que se apresenta a Taxa de Juro aplica-se ao montante total da dívida no ano k, e não parcelado como realmente acontece com os títulos da dívida. Pode-se demonstrar que para períodos de tempo algo alargados, o erro deste modelo é bastante diminuto, se na Taxa de Juro se colocar o valor médio que o Estado tem pago de juros ao longo desse mesmo período de tempo.

Já o crescimento económico no ano k, ou seja o crescimento do valor do Produto Interno Bruto (PIB) do ano k para o ano k+1, ou seja CE_k, obedece a outra equação semelhante

Se dividirmos a primeira equação pelo PIB no ano k+1, multiplicando ainda implicitamente todos os termos da equação por 100, ficamos exatamente com uma outra equação, mas com a Dívida e o Défice, representados em percentagem do PIB.

onde DVp e DFp representam respetivamente a Dívida e o Défice em percentagem do PIB. Podemos ainda apresentar a equação acima de forma diferente, escrevendo

Se agora aplicarmos os conceitos da aproximação dos sistemas dinâmicos discretos aos sistemas dinâmicos contínuos obteremos uma equação diferencial linear de primeira ordem

A solução geral desta equação diferencial é

onde DVp(t) e DVp(0) representa a Dívida em percentagem do PIB no ano t e no ano 0 respetivamente, TJ a Taxa de juro da dívida, CE a percentagem de crescimento económico do PIB, e DFp o Défice público em percentagem do PIB.


E para o caso de Portugal (1980-2010)

Se considerarmos agora para o caso português, um período de cerca de 30 anos, de 1980 a 2010, com um défice público médio de aproximadamente 5%, uma taxa de juro média de 4% e um crescimento económico médio de 3%, ficamos com

cujo gráfico da expressão DVp é o seguinte:

Simulação segundo o modelo, t=0 corresponde a 1980; [1980,2010]
Taxa de juro média da dívida de 4%,
Crescimento económico de 3%,
Défice Público médio de 3%

Penso que a dívida pública apenas não atingiu os valores acima sugeridos pelo gráfico, cerca de 180% do PIB, porque o Estado foi alienando ativos que foram sendo abatidos à dívida, que muitas vezes não entravam nas contas do Défice, como algumas das sucessivas privatizações que se têm realizado desde 1980.

O decréscimo futuro da dívida exige obrigatoriamente excedente orçamental e/ou crescimento económico. A dívida que o modelo sugere, deveu-se essencialmente a variados anos de défices públicos sucessivos, com a agravante que à medida que em cada ano havia défice, contraía-se dívida, que por sua vez tinha de ser paga com juros. Este modelo demonstra que a dívida nestas condições de défices sucessivos tem um crescimento exponencial, que em situação de anos consecutivos de défices altos, leva à situação do crescimento exponencial acentuado da dívida, cujo controlo por parte do executivo, se torna crítico.

O que altera a dinâmica da Dívida neste sistema dinâmico, segundo o modelo, é a expressão TJ-CE, ou seja, a Taxa de Juro da dívida tem de ser inferior ao crescimento económico, para que a Dívida decresça.

Resumidamente, poderá matematicamente comprovar-se aquilo que a generalidade dos cidadãos já tinha como implícito, que o défice de hoje, é a dívida de amanhã.

Afinal o que são e para que servem as tabelas de percentis?

Todas os pais as conhecem, as famosas tabelas de percentis de altura e peso dos bébés e crianças. Representam para muitas mães motivo de angústia sobretudo se o seu rebento se encontra nos “percentis mais baixos” ou se “descem de percentil”. Têm normalmente aspeto semelhante a este.



Figura 1. Tabelas de percentis de altura e peso de bébés dos 0 aos 2 anos, segundo o standard da Organização Mundial de Saúde.

Mas afinal o que é que são e o que representam os percentis? Para responder a esta questão teremos que rever umas das medidas importantes da estatística, os quantis. Tal como a média, a mediana ou a moda, os quantis são medidas de posição.

A mediana (m) é a medida de localização dos elementos numa amostra da população. A mediana é tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m e os outros 50% maiores ou iguais a m.

Ao generalizar esta noção para definir outros intervalos de divisão dos elementos da amostra populacional, obtêm-se os genericamente designados quantis. Diz-se que um quantil de ordem p (com 0<p<1) é o valor Q_p tal que 100xp% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Q_p e os restantes 100x(1-p)% dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Q_p. Ou seja, toma-se toda a amostra de população, ordena-se todos os elementos por ordem crescente e divide-se a população em p partes iguais

Aplicando esta definição à mediana, verificamos que esta não é mais do que o quantil de ordem p=1/2, estamos a dividir a população em duas partes iguais.

Existem outras definições de quantis de ordem específica que são muito utilizados, os quartis, os decis e os percentis. Os nomes são sugestivos: nos quartis a população é dividida em 4 partes iguais, nos decis em 10 partes iguais e nos percentis em 100 partes iguais.

Por exemplo, aplicando esta noção aos quartis, isto quer dizer que em cada quartil estão contidas ¼ ou 25% das observações realizadas. Os quartis estão organizados da seguinte forma:

 

• Q₁=1º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=1/4

• Q₂=2º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=1/2

• Q₃=3º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=3/4

Note-se que o 2º quartil coincide com a mediana, m.

Pela mesma ordem de ideias, os centis ou percentis, dividem a série ordenada em 100 partes iguais, contendo cada uma delas 1/100, ou seja, 1% das observações.  Assim, por exemplo:

• C₁=1º percentil, corresponde ao centil de ordem p=1/100

• C₅₀=50º percentil, corresponde ao centil de ordem p=50/100=1/2

Com os valores correspondentes dos percentis é possível criar gráficos com curvas de evolução de altura e peso para cada percentil. Estes gráficos são denominados pelos pediatras como tabelas de percentis. Tendo em conta o que foi dito, é fácil de perceber que as curvas representadas nas tabelas de percentis dependem directamente da amostra de população considerada, ou seja, para cada sub-grupo da população mundial considerado poder-se-ia construir tabelas de percentis com aspectos diferentes dependendo dos critérios de selecção utilizados para construir esse subgrupo. Quer isto dizer que a mesma criança poderia pertencer a percentis de peso e comprimento diferentes se os critérios de amostragem não fossem os mesmos.

Numa tentativa de uniformizar as tabelas, em meados dos anos 70 o “National Center for Health Statistics” americano e a Organização Mundial de Saúde estabeleceram tabelas de referência recomendadas para uso internacional. Estas tabelas de referência apresentavam várias limitações ao nível do processo de amostragem e dos métodos estatísticos utilizados, pelo que nos anos 90 foram revistas e criou-se ou standard internacional para as tabelas de percentis. As crianças e bébés incluídos na amostra de população deste novo standard consistiu de crianças saudáveis a viver em condições favoráveis ao seu crescimento e à concretização do seu potencial genético; as mães dessas crianças seguiam um estilo de vida saudável, dos quais se destacam a abstenção de fumar e a amamentação dos bébés com leite materno. Foram incluídas crianças de seis países diferentes (Brasil, Ghana, Índia, Noruega, Oman e EUA), pelo que a amostra contém grande variedade genética e étnica e variação cultural nos cuidados com as crianças. A principal característica deste estudo é o estabelecimento da criança alimentada com leite materno como o modelo para o crescimento e desenvolvimento (no estudo anterior as crianças eram alimentadas maioritariamente com leite em pó).

O novo standard define como as crianças devem crescer, o que quer dizer que é mais fácil identificar crianças com problemas ou patologias relacionadas com o crescimento. À medida que a criança vai crescendo a sua altura e peso são registadas no gráfico, para verificar se seguem uma determinada curva, o que quer dizer que a criança se vai mantendo no mesmo percentil. Se a criança segue uma determinada curva consistentemente de medição em medição, então tem um crescimento saudável. Por exemplo, uma criança que segue a curva do percentil C5 de altura é apenas uma criança saudável mais baixa do que a média, ao passo que uma no percentil C90 é mais alta do que a média. Se o padrão de crescimento de uma criança se altera repentinamente e o seu peso aumenta ou diminui significativamente em termos de percentis, então o pediatra sabe que pode haver um problema e actua no sentido de o identificar.

 

Apenas uma nota final para indicar que, embora os novos standards estejam disponíveis desde 2006 para utilização por todos os países que o queiram fazer, e em 2012 tenha sido anunciado que as novas tabelas de percentis seriam adoptadas pelo Direcção-Geral de Saúde em Portugal (http://www.publico.pt/sociedade/noticia/portugal-vai-adoptar-novas-curvas-de-crescimento-para-bebes-e-criancas-1566206), até hoje ainda não o fizeram, pelo que os bébés portugueses ainda são “classificados” segundo as tabelas dos anos 70, que desfavorecem os bébés amamentados com leite materno, cujo crescimento é normalmente um pouco mais lento nos primeiros meses de vida.

Média, mediana e moda - exemplo simples

Anda muita confusão na cabeça de muita gente com algo que é muito simples de entender.

Imaginemos 5 irmãos que vão à pasterlaria com a sua mãe. O primeiro irmão come 1 bolo, o segundo 2 bolos, o terceiro 3 bolos, o quarto 7 bolos, e o quinto 7 bolos, ou seja:

Irmão	Bolos comidos
1º	1
2º	2
3º	3
4º	7
5º	7

Média

A média será apenas a soma do número total de bolos comidos, a dividir pelo número total de irmãos, ou seja, a sua mãe tem de saber o número total de bolos comprados e apenas dividir pelo número total de filhos, para saber quantos bolos come em média cada filho:

Cada filho, em média, come 4 bolos.

Mediana

Todavia a mediana será 3. Excluindo o filho do meio que comeu 3 bolos, metade dos filhos comeu menos de 3 bolos sendo que a outra metade comeu mais de 3 bolos. Ou seja, a mediana é o número de bolos que comeu o "filho do meio", quando os filhos estão ordenados pelo número de bolos que comem.

Neste caso, como o filho do meio comeu 3 bolos, a mediana será 3.

Moda

A moda será 7, pois é o número de pedidos que aparece em maior número; houve dois irmãos que comeram 7 bolos. O empregado de mesa (garçon) da pastelaria a quem a mãe fez os pedidos, lembra-se-á que há vários pedidos, mas há um pedido que aparece em duplicado, ou seja, em maior número, neste caso é 7, pois dois dos irmãos pediram 7 bolos, enquanto nos restantes, todos os pedidos são diferentes.

Caso o primeiro, o segundo e o terceiro irmãos tivessem pedidos todos, cada um, 1 bolo, a moda seria 1, pois haveriam três pedidos de 1 bolo, e apenas dois pedidos, de 7 bolos.

Como encontrar raízes de polinómios de terceiro grau

Este é de facto um tema não debatido ao longo da nossa formação em Matemática, mas definitivamente muito útil nas mais diversas tarefas com que alguém se pode deparar, desde a simples análise da expressão de uma função até ao cálculo de limites, integrais, etc. Note-se que existe sempre pelo menos uma raiz real de um polinómio de terceiro grau, pelo que este problema tem sempre, pelo menos, uma solução real.

Antes de mais, devemos recordar o teorema fundamental da álgebra e as implicações naturais que derivam deste. O resultado mais relevante que daqui se pode retirar é:

Dado um polinómio complexo de ordem n,

este terá n raízes complexas

(excluindo multiplicidades) e podemos escrever:

Num contexto real, devemos ter em conta que poderão não existir as n raízes, mas nunca poderá dar-se o caso de nenhuma raiz existir. A minha sugestão é proceder-se sempre ao cálculo das raízes complexas e, se o exercício apenas tomar uma dimensão real, desconsiderar as raízes em que a parte imaginária é diferente de zero. Tendo em conta o uso da fórmula resolvente, o facto de se considerar números complexos não obrigada a um vasto conhecimento desta área, mas antes da igualdade fundamental desta dimensão

Portanto o problema de encontrar raízes de terceiro grau é resumido ao problema de encontrar uma raiz em um polinómio de terceiro grau. Muito honestamente, isto usualmente faz-se por um processo tentativa erro, apesar de existir uma "fórmula resolvente" para polinómios do terceiro grau (com uma expressão geral pouco prática)

Posto tudo isto, então como se procede para encontrar as raízes de um polinómio de terceiro grau? De uma forma geral, podemos definir este polinómio como:

onde a, b, c, d são os coeficientes, constantes, do polinómio de terceiro grau. Ora, d não depende de x, portanto faz sentido tentar igualar tudo o que depende da nossa variável a este valor independente. Para isso, tomamos os divisores de d, isto é, os números que permitam que a divisão de d por eles dê resto nulo. Um desses divisores será uma raiz do polinómio e, através desta, podemos fatorizar o polinómio de terceiro grau num produto de um polinómio de primeiro grau com um de segundo.

Finalmente, podemos aplicar a fórmula resolvente ao polinómio que obtemos como coeficiente desta divisão de polinómios e encontrar as restantes raízes do polinómio de terceiro grau. Note-se que esta não é uma técnica infalível mas apenas uma muito útil na grande maioria dos casos. Para além desta, costuma ser útil colocar x em evidência, ou expressões de primeiro grau, dado que assim já determinámos uma raiz para o problema.

Nota: A divisão supra referida pode ser simplesmente feita através da chamada regra de Ruffini; um exemplo explicado pode ser encontrado em http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html.

Por exemplo, tomemos o polinómio

Os divisores de 1 são 1 e -1. Substituindo x por -1 na expressão percebemos que este é de facto uma raiz do polinómio. Assim, temos que

Claramente que

e realizando a divisão dos polinómios chegamos a

e este último terá como raízes i e -i. Assim, as raízes de P(x) são -1, i e -i.

Este mesmo processo pode ser aplicado a polinómios com coeficientes diferentes da unidade. Seja

os divisores de 18 são 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9. Claro que o processo parece moroso, tendo em conta o número de divisores de 18 tem, mas à priori podemos, fazendo aquilo a que se chama uma análise "a olho", excluir 9, -9, 6, -6 dado queeque são números demasiado elevados para conseguirmos anular com o remanescente da expressão) e (por um motivo contrário) 1 e -1. Testando chegaríamos mesmo a que -3 é raiz do polinómio e assim ficávamos com:

e de uma forma natural seríamos capazes de determinar que as raízes do polinómio serão:

Quando nenhuma manipulação ou teste permitir chegar a qualquer raiz do polinómio (que não deverá acontecer em qualquer cadeira/disciplina de matemática que tomem ao longo da formação académica) sobram os processos numéricos, como o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson, ou a "fórmula resolvente" para grau 3, que pode ser encontada em "Press, William H.; Vetterling, William T. (1992). Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-43064-X".

Programação Linear - Apresentação nas formas Geral, Canónica e Standard

Como foi visto no anterior artigo de Programação Matemática, um Problema de Programação Linear (PPL) após a sua formulação apresenta-se na forma:

Max (ou Min) z = F(x₁, x₂, ..., x_n) = c₁ x₁ + c₂ x₂ + ... + c_n x_n
s.a.
    g₁(x₁, x₂, ..., x_n) = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_1n x_n, =,b₁
    g₂(x₁, x₂, ..., x_n) = a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... + a_2n x_n, =,b₂

 ...

    g_m(x₁, x₂, ..., x_n) = a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ... + a_mn x_n, =,b_m

Mas esta forma na maior parte das vezes não é adequada como ponto de partida para uma resolução. Existem muitos métodos para resolver problemas de programação linear, e a maior parte deles requer uma simplificação que se traduz na adaptação à notação matricial, e que esta facilmente pode ser introduzida em qualquer aplicação ou folha de cálculo que possua algoritmos de resoluções deste tipo de problemas. Assim, dever-se-á determinar todos os coeficientes efectivos necessários ao uso de qualquer método e algoritmo.

Forma Geral

Aos coeficientes c_i dá-se geralmente o nome de custos.

Este PPL diz-se estar na forma geral porque a função objectivo (f.o.) pode ser maximizada ou minimizada e as restrições podem apresentar qualquer das três formas {,=,}.

Nesta forma admite-se que um PPL possa apresentar variáveis,

não negativas:

não positivas:

livres ou independentes:

Um PPL diz-se estar na forma canónica quando:

- pretende-se maximizar a função objectivo;

- as restrições forem do tipo;

- todas as variáveis forem não negativas:

Ainda, diz-se que um PPL encontra-se na forma standard quando:

- pretende-se maximizar a função objectivo;

- as restrições forem do tipo  = ;

- todas as variáveis forem não negativas:

Para resolver um PPL, é geralmente necessário que se encontre na sua forma mais amigável - a forma standard.

Forma Canónica

Em ordem a transformar um problema na forma geral para a forma canónica, deve tornar-se o problema numa maximização com restrições de sinale variáveis não negativas.

1. No caso de o problema ser uma minimização pode dizer-se que minimizar uma função é equivalente a maximizar a sua simétrica, isto é,

    Min F = Max G (em que G = -F).

2. Para esta forma, pretende-se que todas as restrições figurem com o sinal. Quando as restrições tiverem sinalou  = , deveremos rescrevê-las:

- Se se tiver uma restrição com sinaldevemos multiplicar toda a restrição por -1 (Esta operação nem sempre será útil, pois afectará também o termo independente que poderá ficar negativo).

- Se se tiver uma restrição com sinal  =  é possível rescrevê-la,

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +...+ a_in x_n = b_i <=>

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +...+ a_in x_n <= b_i  e  a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +...+ a_in x_n >= b_i

3. Quanto à imposição de não negatividade das variáveis:

- Quando se tem uma variável não positiva x_i <= 0, deve considerar-se y_i = - x_i >= 0, e assim substituir todos os  x_i  por  -y_i  tanto na f.o. como em todas as restrições.

- Quando se tem uma variável livre, deve tomar-se em conta que pode escrever-se x_i como diferença de duas variáveis artificiais não negativas: x_i = y_i - z_i , com  y_i , z_i >= 0  (observe-se que  x_i  permanece livre).

Forma Standard

A passagem à forma standard é mais simples por não envolver mais alterações na f.o. nem nas variáveis, ficando apenas por transformar todas as restrições em igualdades. Este procedimento é conseguido com a introdução de novas variáveis designadas por folgas ou desvios ( f_i >= 0).

Com efeito, verifica-se facilmente que para a restrição i existe um real  f_i >= 0, tal que,

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_nb_i  <=>  a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n + f_i = b_i     (*)

Em notação matricial, pode escrever-se um PPL na forma standard:

    s.a.

      

      

onde X é vector-coluna das variáveis incluindo as folgas e outras variáveis artificiais que mais tarde poderão figurar no sistema; C^T é o vector-linha dos custos correspondentes; A é matriz de coeficientes das restrições; B é o vector-coluna dos termos independentes (t.i.) das equações das restrições.

Usualmente a resolução por qualquer método de programação linear parte de uma solução inicial ou de arranque, que no caso da Origem do referencial ser uma solução admissível, será poderá ser essa a solução inicial; fazendo x₁, x₂, ..., x_n = 0  então tem-se X = 0 e em (*) f_i = b_i o que significa que se X_f  for o vector-coluna apenas das variáveis de folga e artificiais então X_f = B.

Exemplo 2: Colocar o seguinte programa na forma standard:

       

Pode observar-se que de facto o problema encontra-se na forma geral de acordo com o que se dispôs anteriormente. Mas devem ser feitas algumas alterações para reformulá-lo, primeiro para a forma canónica e depois para a forma standard: 

Na função objectivo: uma vez que Min F = Max G (com G = -F),

    Min  F =  8 x₁ + 4 x₂ - 5 x₃     <=>    Max  G =  - 8 x₁ - 4 x₂ + 5 x₃     

Quando for determinado o valor óptimo G*, então ter-se-á também F* = -G*

Nas restrições

A primeira restrição já está com o tipo que se pretende para a forma canónica.

A segunda restrição será multiplicada por -1, e obter-se-á,

     -3 x₁ + 2 x₂ - 5 x₃-12

A terceira restrição poderá ser rescrita como o sistema,

    - x₁ + 2 x₂ + 2 x₃   = 10  <=>  - x₁ + 2 x₂ + 2 x₃10    e   - x₁ + 2 x₂ + 2 x₃10

e portanto

    - x₁ + 2 x₂ + 2 x₃   = 10  <=>  - x₁ + 2 x₂ + 2 x₃10    e     x₁ - 2 x₂ - 2 x₃-10

Nas variáveis

A variável x₁ é não negativa e não precisa de ser alterada.

A variável x₂ é não positiva, logo devemos considerar y₂ = - x₂0    que é não negativa.

A variável x₃ é livre, mas podemos rescrevê-la como diferença entre duas outras variáveis não negativas: x₃ = y₃ - z₃ , y₃0 , z₃0.

Em resumo, apresenta-se o problema na forma canónica,

Finalmente para concretizar o problema na forma standard, quanto à função objectivo e quanto às variáveis não há nada a alterar; bastará portanto transformar as restrições de  para  = , bastando introduzir as variáveis folga respectivas em cada equação:

Em resumo, apresenta-se o problema na forma standard,