O jogo do Nim

Nim é um jogo em que se considera um conjunto de pilhas de objectos. Dois jogadores jogam de forma alternada e retiram um determinado número de objectos de uma das pilhas. Inclusivamente, é possível que todos os objectos de uma pilha sejam retirados. O último jogador a intervir, ganha.

Assim, a família de jogos Nim é vasta, uma vez que pode variar o número de pilhas e o número de objectos, mas claramente nenhum desses jogos pode terminar em empate. Então, existe um jogador que ganha. Será que podemos, a partir do número de pilhas e objectos iniciais, determinar uma estratégia que nos permita ganhar o jogo?

Vamos exemplificar um jogo de Nim simples, com 2 pilhas com 2 objectos cada. O jogador A, que começa e retira os dois objectos de uma das pilhas. De seguida o jogador B retira os dois objectos da restante e ganha o jogo. Começam outro jogo, o jogador A sabe que não pode retirar dois objectos de uma pilha, portanto retira apenas um; de seguida o jogador B retira um objecto da outra pilha, obriga o jogador A a limpar uma pilha e o jogador B volta a ganhar. O jogador B consegue sempre ganhar o jogo, independentemente do que o jogador A faça, dizemos que o jogador B tem uma estratégia ganhadora.

Naturalmente que em versões mais complexas do Nim somos obrigados a um trabalho muito mais exaustivo para determinar a estratégia ganhadora, e o jogador a que corresponde. Uma forma muito mais simples passa por analisar a decomposição binária do número de objectos em todas as pilhas, isto é, decompomos cada número de objectos numa soma de potências de 2. Por exemplo, assumimos um jogo com 3 pilhas, com 4, 5 e 8 objectos. Então representamos a situação inicial do jogo pelo seguinte quadro, dado que 

$4=2^2, \ 5=2^2+2^0,\ e\ 8=2^3$

Dizemos que uma colecção de pilhas se encontra em equilíbrio se todas as potências de 2 ocorrem em número par (por convenção, 0 toma o significado de número par). Portanto a colecção de pilhas anterior encontra-se em desequilíbrio. Se o jogador A retirar 7 objectos da última (ordenação a partir da organização da tabela) pilha, esta passa a ter apenas um objecto, o que irá fazer com a colecção de pilhas passe a estar equilibrada:

De facto, conclui-se que a estratégia ganhadora consiste em transformar a colecção de pilhas de desequilibrada em equilibrada, sucessivamente, até que a posição de equilíbrio seja com apenas zeros na última linha, isto é, até à situação final de jogo. Se uma colecção de pilhas estiver em equilíbrio, o outro jogador é forçado a desequilibrar a colecção, dado que é impossível retirar objectos de uma pilha sem desequilibrar a colecção.

Podemos então concluir que se a colecção de pilhas inicial se encontrar em desequilíbrio o jogador A tem uma estratégia ganhadora, e portanto pode ganhar o jogo independentemente das jogadas do adversário. Caso contrário, será o jogador B a ter a estratégia ganhadora. Em ambos os casos as estratégias ganhadoras passam por equilibrar a colecção de pilhas, que se encontrava em desequilíbrio.

Horário de 40 horas é um corte salarial de 12,5%

A Matemática Viva não é uma instituição político-partidária, por isso que não se tirem interpretações políticas sobre a Matemática Viva, aquando da publicação desta mensagem. Queremos apenas elucidar matematicamente os cidadãos sobre matérias relevantes e que são comuns da opinião pública.

Qual o valor exato do corte salarial com a lei das 40 horas semanais para a função pública? As contas são simples: se um trabalhador do estado que trabalhava 7 horas, passou a trabalhar 8 horas ganhando o mesmo salário, o corte é exatamente igual a 12,5%.

A percentagem de um corte numa dada grandeza é dada por:

onde:

Consideremos x o vencimento por dia de um funcionário público, então o valor de corte será:

Estas medidas representam assim, em termos reais, um corte salarial de 12,5%.

Natureza Matemática

Gostava de partilhar convosco uma abordagem mais filosófica e em termos de Natureza da Matemática.

E para isso vou recorrer a este excelente trabalho da BBC,para quem já viu fica a ideia para repetir e tentar relacionar com esta publicação.

Diz-se que uma pessoa que mais saiba matemática nunca ultrapassa o dois por cento da sabedoria toda da Matemática.Muitos classificam matemática não como uma ciência,mas sim uma humanidade com repercussão na Ciência.As grandes doutrinas históricas e filosóficas dos Matemáticos são :

Formalismo - Uma corrente assente em ideias de Kant.Esta corrente foca-se na lógica ,tudo se desenrola sobre as leis da lógica,mas nega que estas (axiomas) sejam por si um principio com essência ou natureza real.Desenvolve toda a matemática numa grande escrita humana que obedece a vários princípios da regra lógica,mas não lhes dá fundamento de essência.

Construtivismo -Admite a existência de entidades abstractas, mas somente na medida que são construídas pela mente da pessoa,a Matemática é entendida como construção mental e não como um conjunto de teoremas como no logicismo.O idealizador desta escola foi Brower.

Platonismo - A Matemática existe independente dos pensamentos e leis formuladas pelas mentes humanas, pois está em alguma parte, no mundo das ideias platónicas. Acredita-se que os objectos matemáticos existem, mesmo que não tenhamos conhecimento sobre eles.Existe essência em tudo o que se explica matematicamente e tudo tem "lugar"na realidade que se situamos.

A minha opinião aproxima-se muito do que é o platonismo,apesar de se poder absorver e interligar várias características das outras correntes que enriquecem ainda mais o pensamento matemático.Com a evolução da matemática em todas as áreas nos últimos anos, leverá a uma reconstrução de estes pensamentos e mesmo o aparecimento de fusões e novos conceitos.

O documentário que se segue,na minha opinião,favorece mais a corrente platonismo.No entanto é apenas a minha mais que humilde opinião,e fica esta publicação um desafio a um discutir e relançar estes temas para cima da mesa,pois parece que nos últimos tempos a matemática tem fugido muito para apenas a sua aplicação ou ensino,uma fuga para o que o livro experiência matemática apelidava de engenharia matemática.

Este documentário é retratado como tudo o que existe e acontece está escrito e postulado numa espécie de código,sendo esse código a essência e o "ADN" de tudo o que existe,e esse código é a matemática.

A Matemática nas Escalas Musicais

A matemática e a música têm funções muito diferentes na sociedade. No entanto, estão mais intimamente relacionadas do que geralmente se pensa. A música, com toda a sua paixão e emoção, também é baseada em relações matemáticas. Noções como a de oitava, acorde, escala ou tonalidade podem ser desmistificadas e compreendidas logicamente, usando a matemática.

A matemática também está relacionada com questões de estética musical. Por exemplo, um músico experiente consegue ouvir um trecho musical, observar a sua estrutura musical e acompanhá-la correctamente, mesmo sem conhecer ou ter ensaiado previamente a melodia, por ser capaz de reconhecer padrões e formas familiares. Este tipo de raciocínio assemelha-se muito ao que acontece quando se estuda matemática, onde a identificação de relações e padrões é parte essencial.

Uma das estruturas musicais que está intimamente relacionada com a matemática, é a noção de escala musical. Uma escala musical é uma sequência ordenada de tons pela frequência vibratória de sons, (normalmente do som de frequência mais baixa para o de frequência mais alta), que consiste na manutenção de determinados intervalos entre as suas notas. Vejamos então como a matemática está envolvida na construção desta estrutura musical.

Conceitos importantes

Antes de falar sobre as escalas propriamente ditas, é conveniente clarificar alguns conceitos, nomeadamente os conceitos de:

Som - onda (ou conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa frequência; para as que se situam na faixa de 20 a 20.000 Hz, o ouvido humano é capaz de vibrar à mesma proporção, captando essa informação e produzindo sensações neurais, às quais o ser humano dá o nome de som.

Nota musical - termo empregue para designar o elemento mínimo de um som, formado por um único modo de vibração do ar. A cada nota corresponde uma duração e está associada uma frequência.

Intervalo - uma diferença de tom entre duas notas; denominam-se intervalos harmónicos se os dois tons soam simultaneamente e intervalos melódicos se eles soam sucessivamente.

Acorde - é a escrita ou execução de duas ou mais notas simultaneamente.

Vejamos agora algumas escalas importantes em termos musicais e a sua relação com a matemática.

Escala Pitagórica

Pitágoras desenvolveu a primeira escala musical com base matemática da história ocidental. Na Escola Pitagórica a Música era considerada como estando ao mesmo nível da Aritmética, Geometria e Astronomia. A Música era a ciência do som e da harmonia.

Os antigos gregos descobriram que, para uma nota de uma determinada frequência só as notas cujas frequências eram múltiplos inteiros da primeira poderiam ser convenientemente combinadas (consonantes). Se, por exemplo, a nota de frequência 220 Hz era tocada, as notas com maior consonância com a mesma seriam as de frequências 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, etc. e seriam percebidas como versões mais agudas ou graves da mesma nota. A razão mais importante entre frequências é, por isso, de 1:2, que no sistema de notação musical ocidental é chamado de um intervalo de oitava (por existirem 8 notas, ou tons inteiros, entre as duas frequências). Sempre que a razão entre frequências é de 1:2 estamos em presença de um intervalo de oitava. Outras razões permitem construir outros intervalos os de quinta (2:3), quarta (3:4), terceira maior (4:5) e terceira menor (5:6), todos importantes para a criação dos acordes.

A diferença entre uma quinta e uma quarta era definida como um tom inteiro, e resulta numa razão de 8:9.

A afinação de um intrumento pela escala pitagórica define todas as notas e intervalos de uma escala musical a partir de uma série de quintas com uma razão de 3:2. Assim sendo é, não só um sistema matematicamente elegante mas também um dos mais simples de afinar.

Partindo do intervalo de oitava dado pelas frequências genéricas f_o e 2f_o pode-se formar a escala pitagórica, desde que se mantenha os intervalos (ou seja as razões numéricas) entre as notas. As notas obtidas formam a chamada escala diatónica de sete notas que conhecemos vulgarmente por Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si. Se calcularmos os intervalos entre todas as alturas da escala diatónica teremos apenas dois valores: (9/8) e (256/243), chamados respectivamente de tom pitagórico diatónico e semitom pitagórico diatónico. Obtém-se assim uma escala com 7 notas diferentes como as da figura

Os estudos de razões “harmónicas” e proporções eram a essência da música durante a época dos pitagóricos. A partir da Idade Média, no entanto, com o desenvolvimento de música mais complexa, observou-se que, embora as razões fossem “perfeitas”, ocorriam problemas quando acordes particulares, diferentes tonalidades ou escalas com mais notas eram utilizadas.

O problema derivava da definição dos intervalos de terceira, quinta e oitava quando definidos por números inteiros. Ao adicionar vários intervalos de terceira e quinta sucessivamente a uma nota de base, nunca se consegue atingir novamente uma oitava da nota de base. Quer isto dizer que adicionar tons inteiros definidos pela razão 9:8 a uma nota de base de frequência f_o, nunca permite criar uma nova nota de frequência 2f_o, 3f_o, 4f_o ou semelhantes.

Surgiu assim a necessidade de um sistema de afinação alternativo e de outras definições de escala.

Escala Bem Temperada e Igualmente Temperada

Johann Sebastian Bach introduziu, no século XVIII o sistema do “bom temperamento”. O temperamento envolve o ajuste dos intervalos da escala pitagórica de tal forma que uma oitava era dividida em intervalos que permitiam tocar em qualquer tonalidade e eliminar o problema das notas nas oitavas não serem coincidentes. Inicialmente existiam vários métodos de afinação “bem temperada”. O que sobreviveu até aos nossos dias foi o sistema com uma escala de doze semitons igualmente distribuidos pela oitava (escala igualmente temperada). O pai de Galileo, um músico teórico, foi um dos primeiros a propor este sistema, no século XV, embora este só tenha sido adoptado como referência no século XIX.

Nesta escala, um tom inteiro já não é definido pela razão 9:8=1,125 mas por dois semitons (cada um expresso como) obtendo o valor numérico de. Assim sendo, se chamamos i ao intervalo entre cada semitom da escala temperada, um intervalo de quinta (7 semitons) é i⁷, um intervalo de quarta (5 semitons) é i⁵, um intervalo de segunda maior (2 semitons) é i², e assim por diante. O intervalo de oitava (12 semitons), dado por i¹², tem a relação de 2/1, que corresponde à oitava pitagórica.

Pode-se calcular qualquer outro intervalo da escala temperada usando-se a expressão i_n = 2 ^n/12, onde n é o número de semitons contido no intervalo. Por exemplo, para calcular a frequência de um Mi quinta acima (7 semitons) de um Lá de 440 Hz temos:

F_i = f_o * 2 ^n/12 = 440 * 2 ^7/12 = 440 * 1.498 = 659,25 Hz

Foram propostas e existem actualmente várias escalas temperadas. No entanto, a escala de doze semitons igualmente temperada é a única escala igualmente temperada que contém os sete intervalos consonantes com uma boa aproximação (cerca de 1% de variação em relação ao intervalo “puro”, ver tabela) e contém mais intervalos consonantes que dissonantes. Por isso, é provavelmente a melhor solução de compromisso de todas as escalas possíveis, sendo essa a razão pela qual é a escala de referência no mundo ocidental e a sua utilização é comum em todo o mundo.

Nota	Razão Intervalar da Escala Pitagórica	Razão Intervalar da Escala Igualmente Temperada	No de Semitons
Dó	1,000	1,000	0
Dó# Réb	1,054	1,059	1
Ré	1,125	1,122	2
Ré# Mib	1,185	1,189	3
Mi	1,266	1,260	4
Fá	1,333	1,335	5
Fá# Solb	1,405	1,414	6
Sol	1,500	1,498	7
Sol# Láb	1,580	1,587	8
Lá	1,688	1,682	9
Lá# Sib	1,778	1,782	10
Si	1,898	1,888	11
Dó	2,000	2,000	12

A principal questão das escalas e sistemas de afinação temperados é que embora o ouvido humano prefira os intervalos “puros” pitagóricos, uma escala temperada é necessária para a execução de música mais complexa com acordes e instrumentação variada. De um modo geral, os indivíduos preferem escalas musicais com muitos intervalos consonantes (que “soam bem”). Não existe uma lista definitiva de intervalos consonantes porque o conceito de consonância envolve um julgamento estético subjectivo. O que é facto é que os músicos actuais têm que se adaptar ás pequenas dissonâncias da escala temperada para afinar os seus instrumentos.

Quer isto dizer que vivemos agora num mundo de escalas igualmente temperadas? Não propriamente. Actualmente vivemos num mundo onde a música de Bach será tocada num instrumento bem temperado, a música medieval executada utilizando a escala pitagórica e Chopin num piano igualmente temperado. A tendência actual é para tentar reproduzir, sempre que possível, a sonoridade da época em que a composição musical foi escrita. Para tal o conhecimento e uso de uma afinação específica e das relações matemáticas entre as notas aqui abordadas é fundamental.

Conto Árabe: divisão de camelos...

Um homem, que tinha 17 camelos e 3 filhos, morreu.

Quando o testamento foi aberto, dizia que metade dos camelos ficaria para o filho mais velho, um terço para o segundo e um nono para o terceiro.

O que fazer? Eram dezassete camelos; como dar metade ao mais velho? Um dos animais deveria ser cortado ao meio?

Tal não iria resolver, porque um terço deveria ser dado ao segundo filho. E a nona parte ao terceiro. É claro que os filhos correram em busca do homem mais erudito da cidade, o estudioso, o matemático. Ele raciocinou muito e não conseguiu encontrar a solução. Matemática é matemática.

Então alguém sugeriu: "É melhor procurarem alguém que saiba de camelos não de matemática". Procuraram assim o Sheik, homem bastante idoso e inculto, mas com muito saber de experiência feito. Contaram-lhe o problema.

O velho riu e disse: "É muito simples, não se preocupem".

Emprestou um dos seus camelos - eram agora 18 - e depois fez a divisão. Nove foram dados ao primeiro filho, que ficou satisfeito. Ao segundo coube a terça parte - seis camelos e ao terceiro filho, foram dados dois camelos - a nona parte. Sobrou um camelo: o que foi emprestado.

O velho pegou seu camelo de volta e disse: "Agora podem ir".

Esta história foi contada no livro "Palavras de fogo", de Rajneesh e serve para ilustrar a diferença entre a sabedoria e a erudição. Ele conclui dizendo: "A sabedoria é prática, o que não acontece com a erudição. A cultura é abstracta, a sabedoria é terrena; a erudição são palavras e a sabedoria é experiência."

Notas dos alunos no Exame Nacional de Matemática

A desgraça continua a sagrar entre a população portuguesa no domínio da Matemática. Uma população matematicamente letrada, nunca autorizaria levar o saque que levou no BPN, pois sabe quantificar muito bem milhares de milhões; nem nunca autorizaria a promiscuidade das PPP, pois os valores andam na mesma ordem de grandeza. Já uma população matematicamente iletrada, deixa que a dívida pública tome proporções astronómicas, porque "não é comigo, é pública e alguém depois paga", e não percebe a enormidade dos valores quando se lhe diz o que o país paga só de juros, o equivalente a cerca de 5% do PIB, ou seja cerca de 7 mil milhões de euros (são 70 jackpots do Euromilhões só em juros). Enquanto a educação estiver nestes níveis ao nível da matemática, o futuro não é promissor, ainda para mais num exame nacional que era tudo, menos difícil. Fonte: Ministério da Educação

A Beleza da Matemática

BEAUTY OF MATHEMATICS from PARACHUTES.TV on Vimeo.