Ainda a Razão de Ouro.

Imagine que se pretende mensurar algo cujas dimensões se ignora por completo. Nestas situações é típico usar como referência uma escala/sucessão cujos valores consecutivos crescem de forma exponencial/geométrica.

Se pensarmos numa sucessão geométrica, ela tanto pode ter, ainda que tal seja subjectivo, termos relativamente próximos uns dos outros, digamos: 1; 1.1; 1.21...(razão 11/10) ou termos mais díspares, por exemplo: 1; 10; 100; 1000 (razão 10).

Podemos ainda observar que os dois primeiros termos da 1ª Sucessão (1 e 1.1) somados ultrapassam o valor do termo seguinte (terceiro, isto é, 1.21) ao passo que os dois primeiros termos da 2ª Sucessão (1 e 10) somados não ultrapassam o valor do 3º Termo (100).

Perante isto podemos nos colocar a seguinte questão: será que alterando a razão duma sucessão geométrica é possível obrigar a que a soma dos primeiros dois termos desta sucessão sejam iguais ao valor do terceiro termo?

Ou seja:

Resolvendo:

Naturalmente desejamos uma sucessão que não seja constante, isto é,

Logo,

Usando a fórmula resolvente do segundo grau,

Naturalmente não nos interessa uma sucessão alternada logo o valor que procuramos é

Ou seja a Razão de Ouro! A Razão de Ouro é um número que encontramos com frequência na natureza. Ao desfrutar da característica do termo consecutivo seguinte, duma sucessão geométrica de razão igual à Razão de Ouro, ser igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores, é somente natural encontrá-la nos mais diversos fenómenos naturais em que o estado consequente destes depende da combinação aditiva dos dois estados imediatamente anteriores. Estando a natureza repleta dos mais diversos ciclos, continuamente a decorrerem, seja a substituição das gerações das espécies ou a dinâmica das marés ou atmosfera, é com relativa facilidade que a Razão de Ouro nos sorri. Consta que Leonardo Da Vinci considerava a Razão de Ouro a proporção ideal, da razão do comprimento com a largura duma folha de papel. Certamente que o génio renascentista encontrava argumentos para justificar um menor desperdício de espaço(papel) e flexibilidade de utilização da folha de papel quando pretendia representar algo com determinada medida na mesma.

Proporção essa que nos dias de hoje foi sacrificada no formato de papel A, de modo a que dois tamanhos consecutivos desfrutem da propriedade de dobrarem a área, quando se passa dum númeo imediatamente superior (curiosamente aquele com maior número, certamente traduzindo um maior números de divisões consecutivas do formato de referência A0) para outro com um número imediatamente inferior consecutivo.

Por conseguinte a razão do comprimento com a largura duma folha de papel de formato A é

O compromisso encontrado para as folhas de papel de formato A.

Tabelas de Mortalidade e a Segurança Social

Segundo o Instituto Nacional de Estatística (INE), uma tabela de mortalidade é um modelo estatístico que mostra "uma descrição sintética dos aspectos mais importantes da mortalidade e a variação da morte perante a idade". Na prática, as tabelas ou tábuas de mortalidade são tabelas onde a primeira coluna contém todas as idades consideradas, que usualmente é do 0 até ao 110, e as restantes contêm medidas do modelo da mortalidade; a medida essencial de qualquer modelo de mortalidade é a probabilidade de um indivíduo com uma idade x falecer antes de atingir a idade x+1. Um exemplo destas tabelas pode ser encontrado em Tábua Completa de Mortalidade para Portugal - 2010 - 2012.

As tabelas de mortalidade são usualmente produzidas pelas entidades oficiais de cada país, no nosso caso pelo INE, com base nos próprios recenseamentos, separadamente por sexo. Através destas podem ser construídas tabelas de mortalidade para sub-populações específicas como por exemplo, fumadores, doentes oncológicos ou empregos de risco. Por exemplo, suponhamos que temos uma tabela de mortalidade dos fumadores. As seguradoras podem construir uma apólice para um seguro, de saúde ou de vida, eficiente para qualquer indivíduo desta sub-população, que do ponto de vista matemático, usualmente passa simplesmente por acrescentar anos de vida aos indivíduos em causa. As aplicações de tabelas de mortalidade são tão diversas e distintas quanto se possa imaginar. Um exemplo de uma aplicação peculiar é no cálculo da probabilidade que um casal tem de se divorciar depois de estar em terapia de casais, assumindo uma probabilidade de divórcio em função do tempo que já passaram em terapia. No entanto, as aplicações que estão inclusivamente na génese do seu desenvolvimento prendem-se com o cálculo de prémios de seguros de vida e com os fundos de pensão.

De acordo com Instituto Português de Seguros, "um fundo de pensões é um património autónomo que se destina exclusivamente ao financiamento de um ou mais planos de pensões e/ou planos de benefícios de saúde", onde "um plano de pensões é um programa que define as condições para receber uma pensão derivada de reforma por velhice, reforma por invalidez, pré-reforma, reforma antecipada e sobrevivência". Um caso particular, e magnânimo, de um fundo de pensões é a segurança social de qualquer país. Assim, as tabelas de mortalidade mostram-se essenciais à gestão nacional, dado o papel da segurança social na equidade social de cada país. Os leitores mais atentos devem estar sensibilizados para o problema generalizado que as seguranças sociais de todos os países desenvolvidos enfrentam, e em particular Portugal. De facto como anunciado pelo primeiro ministro na altura, José Sócrates, aquando do Orçamento de Estado para 2011, admitindo a evolução dos indicadores demográficos, em particular da mortalidade, existe um grande risco de ruptura da segurança social durante meados da década de 30, do presente milénio. Registou-se que o modelo de mortalidade utilizado era desadequado já que não admitia a influência do tempo na mortalidade, e como podemos observar, com o passar dos anos as pessoas tendem a viver mais tempo; os nossos avós viveram mais anos do que os seus avós, por exemplo. Outras influências do tempo na mortalidade podem ser vistas nos chamados fenómenos da retangularização e compressão da mortalidade, que foram observados por diversos demógrafos através de dados do século passado. Estes fenómenos podem ser observados na figura 1.1. O fenómeno da compressão caracteriza-se pela diminuição do número de idades em que é normal ocorrerem óbitos; as primeiras duas setas na figura exemplificam este fenómeno. O fenómeno da retangularização, exemplificado pelas restantes setas, refere-se à forma cada vez mais rectangular que esta função toma. Interpretando para o âmbito do estudo, as mortes concentram-se cada vez em idades mais avançadas e cada vez num menor intervalo de idades.

Assim é preciso construir um modelo que contemple a influência do tempo na mortalidade, e que respeite todos as hipóteses empíricas que os demógrafos têm vindo a estabelecer. Com este podemos construir uma tabela de mortalidade que adequadamente nos vai permitir estimar o número de indivíduos que irá morrer depois da idade de reforma. Desta forma podemos calcular o número de pensionistas que existirão e saber qual o cenário que iremos enfrentar no futuro. Tudo isto para que, como urge o bastonário da Ordem dos Economistas, se aplique uma reforma à Segurança Social para que esta se torne sustentável para as próximas gerações. E é este o grande desafio que os demógrafos, matemáticos e actuários têm vindo a enfrentar durante as últimas duas décadas.

A Arte Matemática de Escher

Maurits Cornelis Escher nasceu em Leeuwarden, na Holanda, em 1898, criou obras únicas e fascinantes de  arte que exploram e apresentam uma grande variedade de ideias matemáticas.

Na Escola de Arquitectura e Artes Decorativas em Haarlem foi encorajado a continuar com os trabalhos de artes gráficas por Samuel Jessurun de Mesquita, o seu professor de arte gráfica.

Em 1922, viajou por Itália e por Espanha, sendo esta viagem uma enorme influência para toda a sua obra artística. Os padrões esculpidos nas paredes do Alhambra, um castelo mouro do século XIV, em Granada, Espanha, e os mosaicos encontrados nos pisos das basílicas e igrejas italianas causaram grande impacto em Escher.

Divisões regulares do plano, chamadas de mosaicos ou tesselação, são arranjos de formas fechadas que cobrem completamente o plano sem sobreposição e sem deixar lacunas. Tipicamente, as formas que compõem um mosaico são polígonos regulares ou formas semelhantes, tais como os azulejos quadrados frequentemente utilizadas em pisos. Escher, no entanto, foi fascinado por todo tipo de tesselação - regular e irregular - e teve a sua especial atenção para os que ele chamou de "metamorfoses", em que as formas mudaram e interagiram umas com as outras.

Como demonstra a Matemática, as únicas formas elementares usadas como padrão utilizadas são os triângulos equiláteros, os quadrados e os hexágonos regulares, porque só é possível realizar divisões regulares do plano com estes três polígonos regulares.

Quando olhamos para a obra de Escher, não reconhecemos imediatamente qualquer um destes polígonos na composição dos seus padrões. No entanto se repararmos com mais atenção, para as mesmas imagens, verificamos que este desenhador decidiu usar a Arte para ludibriar a Matemática. Pegou num quadrado e recortando e acrescentando várias formas conseguiu transformá-lo num peixe com a mesma área.

Deste modo, as figuras encaixam perfeitamente nas pavimentações do plano, e são bastante mais atraentes do que um simples quadrado. Do mesmo modo, Escher pegou num triângulo equilátero e transformou-o noutra imagem mais apelativa.

Assim, Escher criou obras magníficas de mosaicos com as suas metamorfoses.´

Quem era este aluno?

Durante um exame de Física, um professor pôs a seguinte questão aos alunos: 

- "Descreva como determinar a altura de um arranha-céus usando um barómetro". 

Um dos estudantes respondeu: 

- "Amarre uma longa corda à parte mais estreita do barómetro, a seguir faça baixar o barómetro, do telhado do arranha-céus até ao chão. O comprimento da corda mais o comprimento do barómetro será igual à altura do edifício". 

Esta resposta altamente original enfureceu o examinador ao ponto de chumbar o estudante. O aluno recorreu, baseando-se no facto de a sua resposta estar indubitavelmente correcta, e a universidade nomeou um árbitro independente para decidir o caso. O árbitro acabou por decidir que a resposta estava correcta, mas que não demonstrava qualquer conhecimento de Física. 

Para resolver este problema foi decidido chamar o estudante e permitir-lhe que em seis minutos providenciasse uma resposta verbal, que mostrasse, pelo menos, uma certa familiaridade com os princípios básicos da Física. Durante cinco minutos o aluno ficou em silêncio, franzindo a testa a pensar. O árbitro lembrou que o tempo estava a passar, ao qual o estudante respondeu que tinha diversas respostas extremamente relevantes, mas que não sabia qual delas utilizar. Sendo avisado para se despachar, o estudante replicou da seguinte forma: 

"Em primeiro lugar, poderia pegar num barómetro, ir até ao telhado do arranha-céus, deixá-lo cair ao longo da parede e medir o tempo que ele demora a atingir o chão. Desta forma, a altura do edifício poderá ser trabalhada a partir da fórmula: H=0,5.g.t². Mas isto seria má sorte para o barómetro. Ou, então, se o sol estivesse a brilhar, poderia medir a altura do barómetro, depois de assentá-lo na extremidade e medir o comprimento da sua sombra. Em seguida, iria medir o comprimento da sombra do arranha-céus e, depois de tudo isto, seria uma simples questão de aritmética proporcional para calcular a altura do arranha-céus. Mas, se quisesse ser rigorosamente científico acerca disto, poderia amarrar uma longa corda ao barómetro e abaná-lo como um pêndulo, primeiro ao nível do chão e depois ao nível do telhado do arranha-céus. A altura é determinada pela diferença na força da gravidade: T = 2p. Ou, se o arranha-céus tiver uma escada exterior de emergência, seria mais fácil usá-la e marcar a altura do arranha-céus em comprimentos do barómetro, e em seguida adicioná-los por aí acima. Se, simplesmente, quisesse ser chato e ortodoxo na resposta, certamente, poderia usar o barómetro para medir a pressão de ar no telhado do arranha-céus e no solo, e converter os milibars em pés para obter a altura do edifício. Mas uma vez que estamos constantemente a ser exortados a exercitar o pensamento independente e a aplicar os métodos científicos, indubitavelmente a melhor forma seria ir bater ao apartamento do porteiro e perguntar: 'Quer ganhar um barómetro bonito?
Ofereço-lho, desde que me diga a altura deste arranha-céus'."

Quem era este aluno?

Instrumentalização dos Números - Algoritmo do Bilhete de Identidade / Cartão de Cidadão

Apesar de na cultura popular muitos afirmarem que será o numero de Portugueses que têm o mesmo nome,o número mais a direita no nosso número de B.I. ou C.C. é um algarismo de controlo, entre 0 e 10 (mais tarde veremos que só aprece de 0 a 9), e serve para a detecção de erros na digitação do número de identificação.

E porquê este algarismo de controlo?
Além das tentativas de fraude,quando temos sistematicamente que digitar números constituídos por muitos algarismos, mais cedo ou mais tarde, cometem-se erros.
Erro singular: 11873403 em vez de 11873402
Transposição: 11874302 em vez de 11873402


Concebeu se então um algoritmo que detecte automaticamente estes erros.
Para o perceber bem,vamos rever alguns conceitos teóricos:

Operações Numéricas em ℤ

Definição: Dados dois números Inteiros a e b com a≠0 dizemos que a divide b
se existir um Inteiro k tal que: b = a.k

Neste caso dizemos que o Inteiro a é divisor de b

Note: O zero não é divisor de numero nenhum, pois zero não divide nenhum número.
A unidade (um) é divisor de todos os números.

Conjunto de divisores de um inteiro a:
Tenhamos um número Inteiro a todos os divisores, serão obviamente menores que a.
Temos então um conjunto divisores todos eles de a
Conj. Divisores a = { 1,b1, b2,…, bn, a}
com a = k .bi com k,b i ϵ a ℤ
i de 1, . . , n

Existe uma operação importantíssima para a aplicação dos algoritmos matemáticos e ela é o resto da divisão de um inteiro por outro sendo esta designada por mod.

Resto da divisão de um número Inteiro b por um Inteiro a:
Se tivermos a, b Inteiros tal que a < b então a.k + R = b , com k Inteiro e R o
resto da divisão de b por a,sendo R também ele Inteiro.
Então a este resto é dado por:
R=b mod a .

Exemplo : Resto da divisão de 5 por 2:
1 = 5 mod 2
Pois temos: 5 = 4.2 + 1

Note: a operação mod também resulta para b<a mas não vamos utilizar,devido ao caso em estudo não ser importante.

Para o caso em estudo vamos utilizar apenas parte do conjunto dos inteiros,vamos apenas se concentrar nos Positivos ou seja;o conjunto números Naturais ℕ.Outros números famosos que precisamos também de entender e recordar são o conjunto dos números primos,a rever;

Números Primos e algumas Propriedades

Definição. Um número inteiro p > 1 diz-se um primo se não existir nenhum
divisor d de p satisfazendo 1 < d < p. Por outras palavras, um número inteiro p > 1
é primo se não tiver outros divisores positivos além de 1 e dele próprio.
Se um número inteiro a > 1 não for primo diz-se composto.

Note: Dizemos então que p é primo se tiver apenas dois divisores positivos.Repare que
o um (1) não conta pois apesar de se dividir apenas por si e por unidade (ele mesmo),

terá apenas um divisor,ou seja ele próprio,daí a definição ser para p >1.

Quantos primos existem ?? Serão Infinitos??

Demonstração: (atribuída a Euclides)

Admitimos que há um número primo maior do que todos os outros.Suponhamos então que p era o maior dos primos. Se formarmos o produto de todos os primos

P = 2 x 3 x 5 x … x p ,vemos que P + 1 teria um divisor primo p’, divisor esse que pertenceria à sucessão

(2, 3, 5, …, p)

de todos os primos, pelo que: 

p’ | (P + 1);

mas, como p’ é também um dos divisores de P,

p’ | P ,

p’ dividiria simultaneamente P e P + 1, logo deveria dividir igualmente 1:

p’ | 1.

Este resultado é contraditório, porque o inteiro 1 não é múltiplo de nenhum outro inteiro maior ou igual a 2. Esta contradição resultou do facto de termos admitido que a sucessão dos números primos era limitada. Fica assim demonstrado que os números primos são infinitos.  

 
Propriedade 1
Seja p1 e p2 dois primos diferentes então p1 não é divisor de p2 nem p2 divisor de p1.
Propriedade 2
Nas mesmas condições de propriedade 1 temos sempre ( p1 mod p2 ) ≠ 0.
Propriedade 3
O máximo divisor comum entre quaisquer dois primos é 1.

Estamos agora em condições de analisarmos e percebermos o algoritmo que está no nosso B.I.\C.C.
Tanto do ponto vista funcional como da ideia de concepção do mesmo.

Algoritmo

Cada algarismo tem um peso.
Da esquerda para a direita, o primeiro é multiplicado por 9,segundo por 8,terceiro por 7,e assim sucessivamente até ao ultimo (mesmo ultimo,no caso BI antigos no quadrado isolado),e soma-se as parcelas todas.Essa soma tem de ser divisível por 11(número primo). Esse ultimo algarismo é chamado algarismo de controlo.

Considere:

9.a9 + 8.a8 + 7.a7+ 6.a6 + 5.a5 + 4.a4 + 3.a3 + 2.a2 = Soma

e o ultimo número a1 será retratado como algarismo de controlo.

Soma + Algarismo de controlo ( mod ) 11 = 0
Os múltiplos de 11(primo):
0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198…
Logo o resto da divisão destes com 11 é 0.

Os que não são múltiplos de 11:
O resto da divisão por 11 será 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9 ou 10

Então depois de obtermos a Soma dividimos esse valor por 11 e verificamos o resto da divisão.Esse Resto é o algarismo de controlo, é esse o número que aparece em ultimo no seu BI\CC. Ou seja se essa soma for divisível por 11 aparece um 0.Se o resto for um aparece 1.Se Resto for dois aparece 2. E por aí a adiante,até o resto for 10 e aparece...um 0!!!! Erro,aqui está o erro deste algoritmo.Ou seja o sistema não detecta todos os erros singulares.

Exemplos :

Calcular o Algarismo Controlo:
9.1 + 8.1 + 7.8 + 6.7 + 5.3 + 4.4 + 3.0 + 2.2 = Soma
9 + 8 + 56 + 42 + 15 +16 + 0 + 4 = 150
Então o múltiplo de 11 mais perto e maior (algarismo controlo é positivo) de 150 é 154
Logo 150 + 4 (mod) 11 = 0 , pois 154 = 14 .11 + 0
E temos o número controlo igual a 4.
Verifica –se ?
9.1 + 8.1 + 7.8 + 6.7 + 5.3 + 4.4 + 3.0 + 2.2 + 4 = 154 que é divisível por 11

 Caso em que não é Erro com algarismo 0 :
*9.0+ 8.6 + 7.2 + 6.3 + 5.5 + 4.0 + 3.0 + 2.8 = 121
*caso em que o número só tem menos dígitos acrescenta se zero á esquerda.
121 é múltiplo de 11
Logo 150 + 0 (mod) 11 = 0
Sendo 0 o algarismo controlo deste número de B.I.
Verifica-se ?
9.0+ 8.6 + 7.2 + 6.3 + 5.5 + 4.0 + 3.0 + 2.8 + 1.0 = 121 que é divisível por 11

Erro do algoritmo num B.I\C.C. :
*9.0+ 8.6 + 7.2 + 6.3 + 5.5 + 4.0 + 3.0 + 2.3 = 111
*caso em que o número só tem menos dígitos acrescenta se zero á esquerda.
O múltiplo mais perto e maior que de 111 é 121
Logo 111 +1 0 (mod) 11 = 0
Sendo 10 o algarismo controlo
Mas no Bilhete identidade colocam um 0!!!
Erro!!!


Bibliografia:
Apontamentos de Teoria Números
João Filipe Queiró -Professor Catedrático no Departamento Matemática da
Universidade de Coimbra
Álgebra dos Números de Identificação-códigos detectores de erros.
Jorge Picado- Professor no Departamento Matemática da Universidade de Coimbra