Gauss e a soma de n naturais

Karl Friedrich Gauss nasceu na Alemanha em Brunswick, em 1777. Revelou desde muito cedo um enorme talento para a matemática. Por exemplo, diz-se que aos 3 anos de idade já conseguia ajudar o pai na contabilidade do seu negócio e aos 14 anos de idade, Gauss andou a estudar o "teorema dos números primos" (mais de um século antes da sua demonstração). Este teorema afirma que dado N natural, à medida que este aumenta, a densidade de números primos N*/N, em que N* representa o número de números primos inferiores a N, aproxima-se mais e mais de 1/lnN.

Um dia o professor de Gauss pediu aos alunos que adicionassem todos os números de 1 a 100. Eventualmente, o objectivo do professor seria o de colocar os alunos a exercitarem o cálculo mental e a trabalharem no exercício por alguns largos minutos. Contudo, Gauss descobriu rápidamente uma solução.

A receita de Gauss é muito simples e engenhosa:

- Escrever o enunciado da soma duas vezes, uma vez pela ordem crescente e a outra vez pela ordem decrescente:

    1 +   2 +   3 +... ...+  98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 +... ...+    3 +   2 +     1

- Em seguida, somar as duas somas, coluna a coluna:

101+101+101+ ... ...+ 101+101+101

- Como nesta soma, o número 101 aparece 100 vezes temos:

  101+101+101+ ... ...+ 101+101+101 = 100 * 101 = 10100

- Como este resultado é o dobro da resposta original, o resultado pretendido é 10100/2 = 5050

A estratégia de Gauss funciona para qualquer número natural:

1+2+3+...+n = n(n+1)/2

Simples e eficaz

Curiosamente a sucessão dos números que se obtém com esta fórmula  n(n+1)/2 dá os chamados números triangulares, por exemplo:

Matemática, ADN e Nós

Já são muito vulgarizadas, as imagens de núcleos de células biológicas, sejam em fotografias ou infografias, onde podemos comprovar e aprender sobre a sua constituição – os cromossomas. Num núcleo, com um diâmetro aproximado de 5 milionésimos de metro, estão comprimidos os cromossomas, cada qual uma trança enovelada helicoidal de ADN que esticada pode atingir um metro. No entanto, durante a mitose – a replicação da célula – o ADN divide-se, distribuindo os cromossomas em duas cópias da célula original. Já experimentou dividir um emaranhado de fio de lã em dois iguais, sem danificar nenhuma das duas componentes? Pois as células fazem isso quase sem esforço nem danos, apesar do enorme número de nós contidos em seus núcleos.

Desde os anos 80, biólogos e matemáticos (especialistas em Teoria dos Nós – subramo da Topologia) cooperam para tentar compreender os mecanismos de desembaraço dos nós contidos no ADN mitocondrial e replicação celular. As formas possíveis dos nós de ADN têm sido classificadas segundo os seus padrões e suas propriedades topológicas, com a aplicação de metodologias matemáticas da Teoria dos Nós. Um nó matemático, que difere um pouco dos nós físicos que estamos habituados, é uma imersão (a operação inversa de uma projecção) de um círculo no espaço euclidiano tridimensional IR3, e o ADN pode ser modelado como uma faixa topológica, em que as proteínas que o compõem são estudadas quanto ao seu papel no super-enrolamento e compactação no interior do núcleo.

Nas figuras mostram-se nós trifólios de filamentos de ADN, obtidas por observação em microscópio electrónico.