Equação matemática para o equilíbrio hidrostático ou mecânico

As leis da mecânica clássica ditam que num volume de um fluido que não está em movimento ou que tem uma velocidade constante, o somatório das forças em si aplicadas é zero. Isto significa, que a cada força em si aplicada, haverá uma de sentido contrário e de igual magnitude que a contrabalança. Este balanço é denominado por equilíbrio hidroestático.

A gravidade do planeta Terra puxa a atmosfera para "dentro", mas a pressão atmosférica evita que toda a atmosfera fique condensada numa fina camada junto ao nível do mar, pois a pressão atmosférica impele o ar para cima; mas a gravidade evita também que a atmosfera se disperse pelo cosmos, ao puxá-la para baixo. Existe assim um equilíbrio hidroestático no planeta Terra. O mesmo fenómeno é aplicado em vários conceitos da astrofísica, para manter as estrelas em estado considerado estável ao longo do seu tempo de vida.

Do ponto de vista matemático, para entendermos este conceito temos de fazer uso do cálculo infinitesimal. A um cubo ou paralelepípedo com volume infinitesimalmente pequeno, denominamos de cuboide.

Há três forças em jogo no cubóide.

A primeira é a força de cima para baixo, ou centrípeta, criada pela pressão P do fluido que está por cima ou na camada exterior do cubóide

De forma análoga, existe a força de baixo para cima, ou centrífuga, criada pela pressão que está na camada interior ou por baixo do cubóide.

A terceira força em jogo é o peso provocado pela massa do volume do cuboide. Considerando a densidade ρ, o volume V e g sendo a aceleração da gravidade, então:

O volume V deste cubóide é igual à área do topo ou da base, vezes a altura

Somando estas três forças, ficamos com

Sabemos pelas leis de Newton, que esta somo dá zero, pois o fluido está em equilíbrio, ou seja, as suas partículas não estão em aceleração, então:

Ou

P_cima − P_baixo é a variação de pressão, h é a altura do volume do cubóide. Considerando que estas variações são infinitesimais, a equação pode ser reescrita na sua forma diferencial

Considerando que a densidade se altera com a pressão, e a aceleração da gravidade se altera com a altura, a equação final será:

É neste estado de equilíbrio que se encontra por exemplo o Sol, ou muitas milhões de diversas estrelas no universo.