Probabilidades e o 123

 

Um famoso problema em que, aparentemente, a Matemática e as probabilidades contrariam o senso comum é o célebre problema das três portas (ou problema de Monty Hall). O problema foi mediaticamente exposto por Kevin Spacey no filme 21: A Última Cartada e corresponde a uma escolha típica num concurso como o clássico 123.

Temos três portas, numa delas está um automóvel e noutras duas poderá estar a famosa Bota Botilde (na imagem). O objectivo do concorrente é naturalmente escolher a porta onde está o automóvel. Seleccionando uma delas, o apresentador do concurso faz depois o seguinte número de suspense: abre uma das portas onde está a Bota e pergunta ao concorrente: "tem a certeza que quer manter o palpite ou deseja mudar?". A pergunta que se coloca ao leitor é esta: "a decisão é indiferente ou é preferível manter ou mudar o palpite?". Respondendo de imediato, a tendência natural será dizer que é perfeitamente indiferente, na perspectiva de que há 50% de hipóteses em qualquer uma das duas portas restantes. Mas será mesmo assim?

Pois bem, assumindo que não há qualquer mind game psicológico por parte do apresentador (senão a coisa perde o carácter aleatório), ou seja, que ele vai sempre abrir uma porta falsa (sem o carro) e efectuar a pergunta anterior, a resposta certa é outra: vale mesmo a pena mudar. Inicialmente a probabilidade é de 1/3, enquanto as outras duas portas acumulam uma probabilidade conjunta de 2/3. Como o apresentador abrirá sempre uma das outras portas, a restante passará a ter 2/3 de probabilidade, pelo que a mudança é a decisão mais acertada (dado que, como é óbvio, a probabilidade ao manter a aposta inicial é de 1/3),

Caso não seja fácil visualizar com 3 portas, pense-se num exemplo mais extremo, com 1000 portas, em que apenas numa delas está o automóvel. Por hipótese, o concorrente escolhe a porta 1 e tem uma hipótese mínima de o ganhar (apenas 1/1000). Pois bem, se o apresentador vai abrir 998 das restantes portas falsas e sabemos que o vai fazer sempre (e não apenas para enganar o concorrente), vai restar a porta que acumula os restantes 999/1000 de probabilidade (se o carro estiver na 2, ele abre a 3, 4,5, etc; se o carro estiver na 3, ele abre a 2, 4,5, etc; se o carrro estiver na 4; ele abre a 2, 3, 5, 6, etc; e daí por diante, sendo que o carro estiver na 1, ele  abre quaisquer 998 das restantes 999). Torna-se óbvio que a mudança é útil, pois esteja o carro em qualquer das restantes 999 portas, é mesmo essa a porta que vai restar, logo a probabilidade é de 999/1000.

Este exemplo é naturalmente muito académico, mas mostra como o conhecimento de probabilidades nem sempre segue a ideia intuitiva e mais directa e, por outro lado, permite retirar vantagens significativas do ponto de vista quotidiano.