Como efetuar cálculo mental

Entendemos por cálculo mental todos os cálculos que são feitos sem orientação de papel e caneta, calculadora ou outras instrumentos físicos. Apesar de este conceito ser ambíguo (pode ver-se Buys, K. (2001) - Children learn Mathematics) no âmbito 'Mental Calculation World Cup' ele não levanta quaisquer dúvidas. 

A cada dois anos é organizado, numa cidade alemã, um campeonato mundial de cálculo mental. O primeiro campeonato aconteceu na cidade alemã Annaberg-Buchholz a 30 de Outubro de 2004 e envolvia quatro modalidades: somas de dez números com dez dígitos cada, produto de dois número com oito dígitos, raízes quadradas de números com seis dígitos e, finalmente, cálculos com calendários determinando o dia da semana a que determinada data corresponde. Tarefas que seriam facilmente executadas por calculadoras ou com um suporte escrito, que claramente são proibidos no torneio. O vencedor final de todo o torneio, que inclui a ponderação de todas as modalidades, foi o britânico Robert Fountain. 

Entretanto as provas existentes foram ficando mais exigentes e foram acrescentadas outros desafios de cálculo mental. Por exemplo, no primeiro torneio os concorrentes tinham de realizar em dez minutos dez somas de dez números com dez algoritmos, já em 2012 apenas lhes era dado sete minutos. Em 2012 foram apresentados dez tipos de desafios completamente diferentes que envolviam tarefas de memorização e ainda o chamado "most versatile calculator", cuja organização descreve como sendo cinco desconhecidas "surprise tasks". No último campeonato o campeão foi Naofumi Ogasawa, que nesse mesmo campeonato bateu o recorde mundial de soma de dez números com dez algarismos cada 191 segundos (pouco mais de três minutos, menos de metade do tempo dado para a prova).

                                                                            

O recorde anterior (222 segundos) era detido por aquele que podemos considerar como a mais famosa calculadora humana, o espanhol Alberto Coto García. Durante o primeiro campeonato mundial de cálculo mental, Alberto Coto estabeleceu o recorde mundial desta mesma prova em 350 segundos, o que demonstra que todos os humanos conseguem desenvolver as suas capacidades de cálculo mental de forma significativa. Os mais interessados podem ver os desafios propostos em 2010 e 2012. O campeonato de 2014 ainda não está marcado, mas seguindo a tradição será expectável que seja numa cidade alemã entre Julho e Novembro do próximo ano.

Para conseguir ter bons resultados nestas provas, não basta fazer todas as aplicações móveis de cálculo mental, é preciso aprender e treinar os chamados "numerical shortcuts", os truques de cálculo numérico. Alguns destes truques são explicados pelas calculadoras humanas, outros são simplesmente aquilo a que alguns leigos chamam de "matmagia", que irei exemplificar de seguida.

Multiplicar número por 11, 111 ou por qualquer sequência de uns:

Tomemos um número com dois algarismos na forma [M,N], onde M representa o primeiro algarismo e N o segundo. Então o produto de MN por 11 será dado por [M, M+N, N], caso M+N<10, caso contrário será [M+1, M+N, N].

Por exemplo, 72*11=792 e 86*11=946.

A demonstração é facilmente feita decompondo MN em 10M+N e 11 em 10+1 e aplicando a distributividade do produto face à soma.

Da mesma forma, para o caso do produto de um número da forma [M, N, O] por 111 teríamos [M, M+N, M+N+O, N+O, O] (e quando a soma ultrapassa o limite de 9 teríamos de somar 1 à 'casa' anterior).

Por exemplo, 123*111= 13653 e 346*111=38406.

E assim sucessivamente, para qualquer sequência de uns, desde que tenhamos o mesmo número de algarismos nos dois números que compõem o produto.

Quadrados de números acabados em 5:

Seja um número da forma [M, 5], onde M representa o primeiro algarismo e 5 o segundo. Assim, este número ao quadrado será dado por [M*(M+1), 25], onde neste caso cada 'casa' corresponde a dois algarismos.

Por exemplo, 75*75= 5625 e 15*15=225.

A demonstração é facilmente feita usando o caso notável do quadrado da soma e decompondo qualquer número na soma de 10M+5.

No final das demonstrações dos respectivos truques podemos reflectir sobre uma outra definição para o cálculo mental: Metodologia para realizar cálculos complexos através de cálculos mais elementares, utilizando as propriedades algébricas dos números inteiros.

A Magia do Primeiro Algarismo

Pensemos na sucessão das potências de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... Agora, consideremos, não esta sucessão, mas a sucessão do primeiro algarismo significativo (diferente de zero) de cada um dos termos. Esta nova sucessão começa obviamente por 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1... Esta sucessão de primeiro algarismo toma, obviamente, apenas 9 valores: os inteiros 1 a 9. O que sugere imediatamente a pergunta: qual é a frequência assimptótica com que surge nesta sucessão cada um dos inteiros? Intuitivamente, a resposta deveria ser que todos os inteiros surgem com igual frequência, ou seja, 1/9, ou aproximadamente 11,1%. Não há razão óbvia a priori para que o primeiro algarismo de uma potência de 2 tenha preferência por tomar algum valor particular. O número 6 parece tão legítimo como 9 ou 1. No entanto, eis a primeira surpresa. A distribuição está muito longe de uniforme: pelo contrário, aproxima-se muito bem de uma distribuição logarítmica, em que

onde P(n) é a probabilidade de ocorrência do algarismo n.

Esta distribuição apresenta-se na linha 1 da tabela 1. O leitor pode achar isto uma pequena e insignificante curiosidade. Talvez a formação das potências de 2 introduza um mecanismo oculto de desvio da distribuição, e é tudo. No entanto, isso não é verdade: se em lugar de potências de 2 considerar potências de 3, 4, ... 9, 11, ... obterá a mesma distribuição logarítmica.

No gráfico 1 comparam-se os valores de log10(1+1/n) com a frequência relativa da ocorrência do algarismo n para as primeiras 1000 potências de 2 e de 7.

Estranho! Muito mais estranho é o que se passa com a tabela 1.Nela apresentam-se as frequências do primeiro algarismo de números recolhidos do «mundo real»: cotações de acções na bolsa portuguesa no dia 16 de Outubro de 2002 (apenas 58, o que dá uma amostra estatística pequena); número de porta de 307 pessoas ao acaso (obtidas abrindo a lista telefónica de Lisboa ao acaso); pesos moleculares de 1800 compostos; áreas (em milhas quadradas) de centenas de rios americanos; população de 3500 cidades americanas; números que aparecem numa edição ao acaso das Selecções do Reader's Digest.

Os resultados são difíceis de acreditar. O leitor provavelmente esperaria encontrar uma distribuição uniforme nas frequências dos primeiros algarismos; uma vez que estes números não estão correlaccionados entre si, todos os algarismos deveriam ser igualmente prováveis. Pois bem, isso é falso: a distribuição de qualquer destas frequências é logarítmica, descrita por (1). Segunda surpresa: a distribuição dos primeiros algarismos parece ser sempre a mesma distribuição logarítmica, independentemente da natureza dos números.

Como em todos os factos científicos, a magia não existe. Esta história começa em 1881 com o astrónomo Simon Newcomb. Num pequeno artigo no American Journal of Mathematics, Newcomb observa que os livros de tabelas de logaritmos davam sinais de muito maior uso nas primeiras páginas do que nas últimas — o que era estranho, porque uma tabela de logaritmos não é exactamente como um romance que se deixa ao fim de algumas páginas se não agradar. Newcomb propôs mesmo, sem grande justificação, a lei logarítmica acima referida.

Em 1938, o físico Frank Benford, da General Electric, fez exactamente a mesma observação, exactamente pelos mesmos motivos (desgaste dos livros de tabelas de logaritmos), e propôs exactamente a mesma lei logarítmica. Benford compilou uma tabela de distribuição do primeiro algarismo para amostras significativas de 20 tipos de números diferentes (na verdade, os dados da tabela 1 sobre pesos moleculares, áreas de rios e população de cidades são os apresentados por Benford), chegando à conclusão de que independentemente da natureza dos dados a distribuição era sempre a mesma. Mais ainda: se somasse todos os dados independentemente da sua natureza, ficava com um conjunto de 20 229 dados que seguia a lei quase perfeitamente — muito melhor do que qualquer um dos 20 conjuntos isoladamente. O artigo de Benford não passou despercebido, e hoje a lei fenomenológica (1) é conhecida como Lei de Benford.

Nos 60 anos que se seguiram à publicação do artigo de Benford, foram realizadas por matemáticos, físicos, estatísticos e até amadores muitas tentativas de demonstração da lei de Benford. No entanto, estas tentativas nunca tiveram sucesso completo.

Em 1996 o matemático Theodore Hill, do Georgia Institute of Technology, conseguiu finalmente resolver o problema de uma forma muito elegante e verdadeiramente matemática: substituiu o problema original por outro aparentemente mais difícil. Observou que uma lei universal para a distribuição do primeiro algarismo deveria ser invariante de base: isto é, deveria ser válida em qualquer base inteira, e não apenas na base 10. Analisando esta hipótese de invariância de base, Hill descobriu que ao considerar conjuntos de diferentes tipos de números, e não os próprios números, os problemas matemáticos desapareciam. Hill conseguiu assim demonstrar formalmente que a lei de Benford é a única distribuição de probabilidade invariante de base. A lei de Benford é, portanto, um teorema. Não há magia no fenómeno do primeiro algarismo.

Uma outra demonstração de Hill considera a mistura de muitas distribuições de dados de natureza diferente em simultâneo. O que se mostra é que, mesmo que cada distribuição não siga individualmente a lei de Benford, o conjunto de todas as distribuições (uma espécie de «amostras aleatórias de distribuições aleatórias») o faz. Assim, a própria demonstração esclarece a observação algo misteriosa de Benford: a de que a união dos seus dados fenomenológicos satisfazia muito melhor a sua lei do que qualquer dos conjuntos de dados isoladamente. Da mesma forma, a mistura dos valores das cotações das acções em Bolsa, combinadas com as moradas e com os rios americanos verifica mais precisamente a lei de Benford do que qualquer dos dados separadamente!

O exemplo mais espectacular é sem dúvida a aplicação da lei de Benford à fiscalização de impostos e à auditoria financeira. A observação essencial é a seguinte: dados contabilísticos reais constantes das declarações fiscais satisfazem com probabilidade 1 a lei de Benford. Ora o que se verifica é que as pessoas são, do ponto de vista da lei de Benford, «más» a inventar dados. Dados fictícios fabricados pela mão humana raramente satisfazem a lei de Benford — talvez por razões psicológicas: pela intuição, falsa, de que a distribuição do primeiro algarismo é uniforme.


adaptado do capítulo 3 - "A magia do primeiro algarismo", do livro Da falsificação de Euros aos Pequenos Mundos, de Jorge Buescu

Sobre a circularidade da vida

   Ferécides e o seu aluno passeavam desde o meio-dia, conversando sobre temas muito diversos, quando decidiram deter-se para se consolarem e contemplarem melhor a paisagem, recostando-se sobre a erva de um prado numa pequena colina.

... Mantiveram-se em silêncio até o Sol percorrer boa parte do trajecto necessário para consumar a tarde. O rebanho de ovelhas tinha-se aproximado deles. Ferécides, olhando de soslaio para o seu aluno, perguntou-lhe então:

   - Observaste como as ovelhas, vendo-se dispersas, começam a girar em torno do pastor? Este rebanho que temos diante de nós deslocou-se por várias ocasiões. De cada vez que o pastor se sentava num lugar diferente, pouco a pouco, as ovelhas iam criando um círculo novo em seu redor.

   - E que tem isso de particular?

   - É uma demonstração de que a natureza se desenvolve formando círculos.

   - Explica-me isso, mestre, para que possa submeter à minha reflexão.

   Ferécides inclinou-se de novo sobre o prado e, contemplando o infinito, começou a dissertar, lentamente, dando uma entoação poética às suas palavras enquanto se recreava com a sua própria escuta.

   - Tanto o cosmos como a natureza avançam em círculos, ou seja, dando passos que regressam ao mesmo lugar. O final assemelha-se ao início, até se confundem, do mesmo modo que é impossível dizer em que ponto começa e onde termina um círculo. Observa, por exemplo, como os homens, chegados a uma certa idade longeva, se tornam semelhantes às crianças tanto nos seus gostos como no seu comportamento, no seu desamparo e na sua despreocupação pelas coisas do mundo. De um modo inverso, os recém-nascidos assemelham-se a pequenos velhos calvos, enrugados, ausentes do mundo, com a consciência completamente dirigida para o seu interior.

   Observa também de que maneira quem se sente à beira da morte procura regressar, movido por um impulso imperioso, ao sítio onde nasceu.

   Olha como se repetem ao estações: nora que gira ininterruptamente através das idades e que permite à árvore despojar-se das suas folhas para se vestir de novo com elas na Primavera. Contempla a água que desce das montanhas, formando rios até chegar ao mar. Aí, as névoas densas, elevando-se, terminam transformando-se em nuvens; ao viajarem impulsionadas pelo vento, uma vez nas montanhas, descarregam a sua água em forma de neve que, finalmente, depois do Inverno, se derrete dando forma a caudalosos rios que descem até ao oceano, cumprindo assim um rito infatigável.

   Pitágoras interrompeu o discurso do seu mestre.

   - Tudo o que dizes parece-me muito certo, mas, na realidade, não estamos a falar de um círculo.

   - Como assim...? - inquiriu Ferécides, saindo do êxtase que produziam em si as suas próprias palavras.

   Pitágoras insistiu no seu ponto de vista.

   - Não, porque certamente a Primavera regressa depois de cada Inverno, mas não é a mesma Primavera. Para que fosse um círculo deveria ser um retorno ao mesmo lugar e ao mesmo tempo.

   - Vês, Pitágoras, como não sabes interpretar correctamente uma metáfora? De acordo; se falarmos com absoluta precisão, a natureza não descreve um círculo, mas antes uma espiral. Mas por acaso a espiral não é circular? Por favor, meu filho, tem flexibilidade com as imagens metafóricas.

   Pitágoras, como bom discípulo, permaneceu pensativo tentando corrigir o seu erro, o que permitiu a Ferécides embarcar novamente no seu discurso.

   - Os fenómenos próprios da natureza descrevem círculos, mas também os fenómenos cósmicos dispõem do mesmo proceder, uma vez que os planetas e o Sol giram através de um círculo formado pelas constelações zodiacais. Cada dia, a abóbada celeste completa uma rotação em torno da nossa terra. De doze em doze anos, o planeta Júpiter regressa ao mesmo ponto do céu. Para alcançar a mesma estrela que deixou para trás no seu percurso, Saturno precisa de vinte e oito anos. Dois anos necessita Marte para fazer outro tanto.

   Enquanto Ferécides pronunciava estas palavras, a tarde avançava e as andorinhas começavam a apropriar-se do céu. O mestre encontrou a ocasião óptima para relembrar um velho texto poético que escreveu enquanto jovem, e acomodou-o aos seus comentários sobre a circularidade da vida.

   - No mês de Abril regressam as andorinhas. Com o seu ir e vir descrevem anéis cujo perímetro abrange o distante Sul e as nossas latitudes, anéis que enlaçam uma Primavera com a seguinte. Sim, a vida deleita-se expandindo-se ao longo das curvas sensuais que formam os sulcos invisíveis do universo. E tudo quer que cada movimento implique uma partida que não finaliza até regressar ao seu ponto de origem.

   O sol pensava já em retirar-se para a sua mansão subterrânea. Quando se dispuseram a empreender o caminho de regresso, o pastor já se afastava com o seu rebanho.

   - Já não formam um círculo à volta dele - advertiu Pitágoras com ironia!

   - Mas amanhã regressarão ao mesmo prado - respondeu Ferécides, impetuoso.

[...]

E um facto inquestionável é que nada, visto com suficiente distância, se move em linha recta, mas, finalmente, o que julgávamos ser rectilíneo é tão só um segmento de um imenso círculo.

[...]

in Pitágoras, o Filho do Silêncio, Benigno Morilla

O jogo do Nim

Nim é um jogo em que se considera um conjunto de pilhas de objectos. Dois jogadores jogam de forma alternada e retiram um determinado número de objectos de uma das pilhas. Inclusivamente, é possível que todos os objectos de uma pilha sejam retirados. O último jogador a intervir, ganha.

Assim, a família de jogos Nim é vasta, uma vez que pode variar o número de pilhas e o número de objectos, mas claramente nenhum desses jogos pode terminar em empate. Então, existe um jogador que ganha. Será que podemos, a partir do número de pilhas e objectos iniciais, determinar uma estratégia que nos permita ganhar o jogo?

Vamos exemplificar um jogo de Nim simples, com 2 pilhas com 2 objectos cada. O jogador A, que começa e retira os dois objectos de uma das pilhas. De seguida o jogador B retira os dois objectos da restante e ganha o jogo. Começam outro jogo, o jogador A sabe que não pode retirar dois objectos de uma pilha, portanto retira apenas um; de seguida o jogador B retira um objecto da outra pilha, obriga o jogador A a limpar uma pilha e o jogador B volta a ganhar. O jogador B consegue sempre ganhar o jogo, independentemente do que o jogador A faça, dizemos que o jogador B tem uma estratégia ganhadora.

Naturalmente que em versões mais complexas do Nim somos obrigados a um trabalho muito mais exaustivo para determinar a estratégia ganhadora, e o jogador a que corresponde. Uma forma muito mais simples passa por analisar a decomposição binária do número de objectos em todas as pilhas, isto é, decompomos cada número de objectos numa soma de potências de 2. Por exemplo, assumimos um jogo com 3 pilhas, com 4, 5 e 8 objectos. Então representamos a situação inicial do jogo pelo seguinte quadro, dado que 

$4=2^2, \ 5=2^2+2^0,\ e\ 8=2^3$

Dizemos que uma colecção de pilhas se encontra em equilíbrio se todas as potências de 2 ocorrem em número par (por convenção, 0 toma o significado de número par). Portanto a colecção de pilhas anterior encontra-se em desequilíbrio. Se o jogador A retirar 7 objectos da última (ordenação a partir da organização da tabela) pilha, esta passa a ter apenas um objecto, o que irá fazer com a colecção de pilhas passe a estar equilibrada:

De facto, conclui-se que a estratégia ganhadora consiste em transformar a colecção de pilhas de desequilibrada em equilibrada, sucessivamente, até que a posição de equilíbrio seja com apenas zeros na última linha, isto é, até à situação final de jogo. Se uma colecção de pilhas estiver em equilíbrio, o outro jogador é forçado a desequilibrar a colecção, dado que é impossível retirar objectos de uma pilha sem desequilibrar a colecção.

Podemos então concluir que se a colecção de pilhas inicial se encontrar em desequilíbrio o jogador A tem uma estratégia ganhadora, e portanto pode ganhar o jogo independentemente das jogadas do adversário. Caso contrário, será o jogador B a ter a estratégia ganhadora. Em ambos os casos as estratégias ganhadoras passam por equilibrar a colecção de pilhas, que se encontrava em desequilíbrio.

Horário de 40 horas é um corte salarial de 12,5%

A Matemática Viva não é uma instituição político-partidária, por isso que não se tirem interpretações políticas sobre a Matemática Viva, aquando da publicação desta mensagem. Queremos apenas elucidar matematicamente os cidadãos sobre matérias relevantes e que são comuns da opinião pública.

Qual o valor exato do corte salarial com a lei das 40 horas semanais para a função pública? As contas são simples: se um trabalhador do estado que trabalhava 7 horas, passou a trabalhar 8 horas ganhando o mesmo salário, o corte é exatamente igual a 12,5%.

A percentagem de um corte numa dada grandeza é dada por:

onde:

Consideremos x o vencimento por dia de um funcionário público, então o valor de corte será:

Estas medidas representam assim, em termos reais, um corte salarial de 12,5%.

Natureza Matemática

Gostava de partilhar convosco uma abordagem mais filosófica e em termos de Natureza da Matemática.

E para isso vou recorrer a este excelente trabalho da BBC,para quem já viu fica a ideia para repetir e tentar relacionar com esta publicação.

Diz-se que uma pessoa que mais saiba matemática nunca ultrapassa o dois por cento da sabedoria toda da Matemática.Muitos classificam matemática não como uma ciência,mas sim uma humanidade com repercussão na Ciência.As grandes doutrinas históricas e filosóficas dos Matemáticos são :

Formalismo - Uma corrente assente em ideias de Kant.Esta corrente foca-se na lógica ,tudo se desenrola sobre as leis da lógica,mas nega que estas (axiomas) sejam por si um principio com essência ou natureza real.Desenvolve toda a matemática numa grande escrita humana que obedece a vários princípios da regra lógica,mas não lhes dá fundamento de essência.

Construtivismo -Admite a existência de entidades abstractas, mas somente na medida que são construídas pela mente da pessoa,a Matemática é entendida como construção mental e não como um conjunto de teoremas como no logicismo.O idealizador desta escola foi Brower.

Platonismo - A Matemática existe independente dos pensamentos e leis formuladas pelas mentes humanas, pois está em alguma parte, no mundo das ideias platónicas. Acredita-se que os objectos matemáticos existem, mesmo que não tenhamos conhecimento sobre eles.Existe essência em tudo o que se explica matematicamente e tudo tem "lugar"na realidade que se situamos.

A minha opinião aproxima-se muito do que é o platonismo,apesar de se poder absorver e interligar várias características das outras correntes que enriquecem ainda mais o pensamento matemático.Com a evolução da matemática em todas as áreas nos últimos anos, leverá a uma reconstrução de estes pensamentos e mesmo o aparecimento de fusões e novos conceitos.

O documentário que se segue,na minha opinião,favorece mais a corrente platonismo.No entanto é apenas a minha mais que humilde opinião,e fica esta publicação um desafio a um discutir e relançar estes temas para cima da mesa,pois parece que nos últimos tempos a matemática tem fugido muito para apenas a sua aplicação ou ensino,uma fuga para o que o livro experiência matemática apelidava de engenharia matemática.

Este documentário é retratado como tudo o que existe e acontece está escrito e postulado numa espécie de código,sendo esse código a essência e o "ADN" de tudo o que existe,e esse código é a matemática.

A Matemática nas Escalas Musicais

A matemática e a música têm funções muito diferentes na sociedade. No entanto, estão mais intimamente relacionadas do que geralmente se pensa. A música, com toda a sua paixão e emoção, também é baseada em relações matemáticas. Noções como a de oitava, acorde, escala ou tonalidade podem ser desmistificadas e compreendidas logicamente, usando a matemática.

A matemática também está relacionada com questões de estética musical. Por exemplo, um músico experiente consegue ouvir um trecho musical, observar a sua estrutura musical e acompanhá-la correctamente, mesmo sem conhecer ou ter ensaiado previamente a melodia, por ser capaz de reconhecer padrões e formas familiares. Este tipo de raciocínio assemelha-se muito ao que acontece quando se estuda matemática, onde a identificação de relações e padrões é parte essencial.

Uma das estruturas musicais que está intimamente relacionada com a matemática, é a noção de escala musical. Uma escala musical é uma sequência ordenada de tons pela frequência vibratória de sons, (normalmente do som de frequência mais baixa para o de frequência mais alta), que consiste na manutenção de determinados intervalos entre as suas notas. Vejamos então como a matemática está envolvida na construção desta estrutura musical.

Conceitos importantes

Antes de falar sobre as escalas propriamente ditas, é conveniente clarificar alguns conceitos, nomeadamente os conceitos de:

Som - onda (ou conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa frequência; para as que se situam na faixa de 20 a 20.000 Hz, o ouvido humano é capaz de vibrar à mesma proporção, captando essa informação e produzindo sensações neurais, às quais o ser humano dá o nome de som.

Nota musical - termo empregue para designar o elemento mínimo de um som, formado por um único modo de vibração do ar. A cada nota corresponde uma duração e está associada uma frequência.

Intervalo - uma diferença de tom entre duas notas; denominam-se intervalos harmónicos se os dois tons soam simultaneamente e intervalos melódicos se eles soam sucessivamente.

Acorde - é a escrita ou execução de duas ou mais notas simultaneamente.

Vejamos agora algumas escalas importantes em termos musicais e a sua relação com a matemática.

Escala Pitagórica

Pitágoras desenvolveu a primeira escala musical com base matemática da história ocidental. Na Escola Pitagórica a Música era considerada como estando ao mesmo nível da Aritmética, Geometria e Astronomia. A Música era a ciência do som e da harmonia.

Os antigos gregos descobriram que, para uma nota de uma determinada frequência só as notas cujas frequências eram múltiplos inteiros da primeira poderiam ser convenientemente combinadas (consonantes). Se, por exemplo, a nota de frequência 220 Hz era tocada, as notas com maior consonância com a mesma seriam as de frequências 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, etc. e seriam percebidas como versões mais agudas ou graves da mesma nota. A razão mais importante entre frequências é, por isso, de 1:2, que no sistema de notação musical ocidental é chamado de um intervalo de oitava (por existirem 8 notas, ou tons inteiros, entre as duas frequências). Sempre que a razão entre frequências é de 1:2 estamos em presença de um intervalo de oitava. Outras razões permitem construir outros intervalos os de quinta (2:3), quarta (3:4), terceira maior (4:5) e terceira menor (5:6), todos importantes para a criação dos acordes.

A diferença entre uma quinta e uma quarta era definida como um tom inteiro, e resulta numa razão de 8:9.

A afinação de um intrumento pela escala pitagórica define todas as notas e intervalos de uma escala musical a partir de uma série de quintas com uma razão de 3:2. Assim sendo é, não só um sistema matematicamente elegante mas também um dos mais simples de afinar.

Partindo do intervalo de oitava dado pelas frequências genéricas f_o e 2f_o pode-se formar a escala pitagórica, desde que se mantenha os intervalos (ou seja as razões numéricas) entre as notas. As notas obtidas formam a chamada escala diatónica de sete notas que conhecemos vulgarmente por Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si. Se calcularmos os intervalos entre todas as alturas da escala diatónica teremos apenas dois valores: (9/8) e (256/243), chamados respectivamente de tom pitagórico diatónico e semitom pitagórico diatónico. Obtém-se assim uma escala com 7 notas diferentes como as da figura

Os estudos de razões “harmónicas” e proporções eram a essência da música durante a época dos pitagóricos. A partir da Idade Média, no entanto, com o desenvolvimento de música mais complexa, observou-se que, embora as razões fossem “perfeitas”, ocorriam problemas quando acordes particulares, diferentes tonalidades ou escalas com mais notas eram utilizadas.

O problema derivava da definição dos intervalos de terceira, quinta e oitava quando definidos por números inteiros. Ao adicionar vários intervalos de terceira e quinta sucessivamente a uma nota de base, nunca se consegue atingir novamente uma oitava da nota de base. Quer isto dizer que adicionar tons inteiros definidos pela razão 9:8 a uma nota de base de frequência f_o, nunca permite criar uma nova nota de frequência 2f_o, 3f_o, 4f_o ou semelhantes.

Surgiu assim a necessidade de um sistema de afinação alternativo e de outras definições de escala.

Escala Bem Temperada e Igualmente Temperada

Johann Sebastian Bach introduziu, no século XVIII o sistema do “bom temperamento”. O temperamento envolve o ajuste dos intervalos da escala pitagórica de tal forma que uma oitava era dividida em intervalos que permitiam tocar em qualquer tonalidade e eliminar o problema das notas nas oitavas não serem coincidentes. Inicialmente existiam vários métodos de afinação “bem temperada”. O que sobreviveu até aos nossos dias foi o sistema com uma escala de doze semitons igualmente distribuidos pela oitava (escala igualmente temperada). O pai de Galileo, um músico teórico, foi um dos primeiros a propor este sistema, no século XV, embora este só tenha sido adoptado como referência no século XIX.

Nesta escala, um tom inteiro já não é definido pela razão 9:8=1,125 mas por dois semitons (cada um expresso como) obtendo o valor numérico de. Assim sendo, se chamamos i ao intervalo entre cada semitom da escala temperada, um intervalo de quinta (7 semitons) é i⁷, um intervalo de quarta (5 semitons) é i⁵, um intervalo de segunda maior (2 semitons) é i², e assim por diante. O intervalo de oitava (12 semitons), dado por i¹², tem a relação de 2/1, que corresponde à oitava pitagórica.

Pode-se calcular qualquer outro intervalo da escala temperada usando-se a expressão i_n = 2 ^n/12, onde n é o número de semitons contido no intervalo. Por exemplo, para calcular a frequência de um Mi quinta acima (7 semitons) de um Lá de 440 Hz temos:

F_i = f_o * 2 ^n/12 = 440 * 2 ^7/12 = 440 * 1.498 = 659,25 Hz

Foram propostas e existem actualmente várias escalas temperadas. No entanto, a escala de doze semitons igualmente temperada é a única escala igualmente temperada que contém os sete intervalos consonantes com uma boa aproximação (cerca de 1% de variação em relação ao intervalo “puro”, ver tabela) e contém mais intervalos consonantes que dissonantes. Por isso, é provavelmente a melhor solução de compromisso de todas as escalas possíveis, sendo essa a razão pela qual é a escala de referência no mundo ocidental e a sua utilização é comum em todo o mundo.

Nota	Razão Intervalar da Escala Pitagórica	Razão Intervalar da Escala Igualmente Temperada	No de Semitons
Dó	1,000	1,000	0
Dó# Réb	1,054	1,059	1
Ré	1,125	1,122	2
Ré# Mib	1,185	1,189	3
Mi	1,266	1,260	4
Fá	1,333	1,335	5
Fá# Solb	1,405	1,414	6
Sol	1,500	1,498	7
Sol# Láb	1,580	1,587	8
Lá	1,688	1,682	9
Lá# Sib	1,778	1,782	10
Si	1,898	1,888	11
Dó	2,000	2,000	12

A principal questão das escalas e sistemas de afinação temperados é que embora o ouvido humano prefira os intervalos “puros” pitagóricos, uma escala temperada é necessária para a execução de música mais complexa com acordes e instrumentação variada. De um modo geral, os indivíduos preferem escalas musicais com muitos intervalos consonantes (que “soam bem”). Não existe uma lista definitiva de intervalos consonantes porque o conceito de consonância envolve um julgamento estético subjectivo. O que é facto é que os músicos actuais têm que se adaptar ás pequenas dissonâncias da escala temperada para afinar os seus instrumentos.

Quer isto dizer que vivemos agora num mundo de escalas igualmente temperadas? Não propriamente. Actualmente vivemos num mundo onde a música de Bach será tocada num instrumento bem temperado, a música medieval executada utilizando a escala pitagórica e Chopin num piano igualmente temperado. A tendência actual é para tentar reproduzir, sempre que possível, a sonoridade da época em que a composição musical foi escrita. Para tal o conhecimento e uso de uma afinação específica e das relações matemáticas entre as notas aqui abordadas é fundamental.

Conto Árabe: divisão de camelos...

Um homem, que tinha 17 camelos e 3 filhos, morreu.

Quando o testamento foi aberto, dizia que metade dos camelos ficaria para o filho mais velho, um terço para o segundo e um nono para o terceiro.

O que fazer? Eram dezassete camelos; como dar metade ao mais velho? Um dos animais deveria ser cortado ao meio?

Tal não iria resolver, porque um terço deveria ser dado ao segundo filho. E a nona parte ao terceiro. É claro que os filhos correram em busca do homem mais erudito da cidade, o estudioso, o matemático. Ele raciocinou muito e não conseguiu encontrar a solução. Matemática é matemática.

Então alguém sugeriu: "É melhor procurarem alguém que saiba de camelos não de matemática". Procuraram assim o Sheik, homem bastante idoso e inculto, mas com muito saber de experiência feito. Contaram-lhe o problema.

O velho riu e disse: "É muito simples, não se preocupem".

Emprestou um dos seus camelos - eram agora 18 - e depois fez a divisão. Nove foram dados ao primeiro filho, que ficou satisfeito. Ao segundo coube a terça parte - seis camelos e ao terceiro filho, foram dados dois camelos - a nona parte. Sobrou um camelo: o que foi emprestado.

O velho pegou seu camelo de volta e disse: "Agora podem ir".

Esta história foi contada no livro "Palavras de fogo", de Rajneesh e serve para ilustrar a diferença entre a sabedoria e a erudição. Ele conclui dizendo: "A sabedoria é prática, o que não acontece com a erudição. A cultura é abstracta, a sabedoria é terrena; a erudição são palavras e a sabedoria é experiência."

Notas dos alunos no Exame Nacional de Matemática

A desgraça continua a sagrar entre a população portuguesa no domínio da Matemática. Uma população matematicamente letrada, nunca autorizaria levar o saque que levou no BPN, pois sabe quantificar muito bem milhares de milhões; nem nunca autorizaria a promiscuidade das PPP, pois os valores andam na mesma ordem de grandeza. Já uma população matematicamente iletrada, deixa que a dívida pública tome proporções astronómicas, porque "não é comigo, é pública e alguém depois paga", e não percebe a enormidade dos valores quando se lhe diz o que o país paga só de juros, o equivalente a cerca de 5% do PIB, ou seja cerca de 7 mil milhões de euros (são 70 jackpots do Euromilhões só em juros). Enquanto a educação estiver nestes níveis ao nível da matemática, o futuro não é promissor, ainda para mais num exame nacional que era tudo, menos difícil. Fonte: Ministério da Educação

A Beleza da Matemática

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Ainda a Razão de Ouro.

Imagine que se pretende mensurar algo cujas dimensões se ignora por completo. Nestas situações é típico usar como referência uma escala/sucessão cujos valores consecutivos crescem de forma exponencial/geométrica.

Se pensarmos numa sucessão geométrica, ela tanto pode ter, ainda que tal seja subjectivo, termos relativamente próximos uns dos outros, digamos: 1; 1.1; 1.21...(razão 11/10) ou termos mais díspares, por exemplo: 1; 10; 100; 1000 (razão 10).

Podemos ainda observar que os dois primeiros termos da 1ª Sucessão (1 e 1.1) somados ultrapassam o valor do termo seguinte (terceiro, isto é, 1.21) ao passo que os dois primeiros termos da 2ª Sucessão (1 e 10) somados não ultrapassam o valor do 3º Termo (100).

Perante isto podemos nos colocar a seguinte questão: será que alterando a razão duma sucessão geométrica é possível obrigar a que a soma dos primeiros dois termos desta sucessão sejam iguais ao valor do terceiro termo?

Ou seja:

Resolvendo:

Naturalmente desejamos uma sucessão que não seja constante, isto é,

Logo,

Usando a fórmula resolvente do segundo grau,

Naturalmente não nos interessa uma sucessão alternada logo o valor que procuramos é

Ou seja a Razão de Ouro! A Razão de Ouro é um número que encontramos com frequência na natureza. Ao desfrutar da característica do termo consecutivo seguinte, duma sucessão geométrica de razão igual à Razão de Ouro, ser igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores, é somente natural encontrá-la nos mais diversos fenómenos naturais em que o estado consequente destes depende da combinação aditiva dos dois estados imediatamente anteriores. Estando a natureza repleta dos mais diversos ciclos, continuamente a decorrerem, seja a substituição das gerações das espécies ou a dinâmica das marés ou atmosfera, é com relativa facilidade que a Razão de Ouro nos sorri. Consta que Leonardo Da Vinci considerava a Razão de Ouro a proporção ideal, da razão do comprimento com a largura duma folha de papel. Certamente que o génio renascentista encontrava argumentos para justificar um menor desperdício de espaço(papel) e flexibilidade de utilização da folha de papel quando pretendia representar algo com determinada medida na mesma.

Proporção essa que nos dias de hoje foi sacrificada no formato de papel A, de modo a que dois tamanhos consecutivos desfrutem da propriedade de dobrarem a área, quando se passa dum númeo imediatamente superior (curiosamente aquele com maior número, certamente traduzindo um maior números de divisões consecutivas do formato de referência A0) para outro com um número imediatamente inferior consecutivo.

Por conseguinte a razão do comprimento com a largura duma folha de papel de formato A é

O compromisso encontrado para as folhas de papel de formato A.

Tabelas de Mortalidade e a Segurança Social

Segundo o Instituto Nacional de Estatística (INE), uma tabela de mortalidade é um modelo estatístico que mostra "uma descrição sintética dos aspectos mais importantes da mortalidade e a variação da morte perante a idade". Na prática, as tabelas ou tábuas de mortalidade são tabelas onde a primeira coluna contém todas as idades consideradas, que usualmente é do 0 até ao 110, e as restantes contêm medidas do modelo da mortalidade; a medida essencial de qualquer modelo de mortalidade é a probabilidade de um indivíduo com uma idade x falecer antes de atingir a idade x+1. Um exemplo destas tabelas pode ser encontrado em Tábua Completa de Mortalidade para Portugal - 2010 - 2012.

As tabelas de mortalidade são usualmente produzidas pelas entidades oficiais de cada país, no nosso caso pelo INE, com base nos próprios recenseamentos, separadamente por sexo. Através destas podem ser construídas tabelas de mortalidade para sub-populações específicas como por exemplo, fumadores, doentes oncológicos ou empregos de risco. Por exemplo, suponhamos que temos uma tabela de mortalidade dos fumadores. As seguradoras podem construir uma apólice para um seguro, de saúde ou de vida, eficiente para qualquer indivíduo desta sub-população, que do ponto de vista matemático, usualmente passa simplesmente por acrescentar anos de vida aos indivíduos em causa. As aplicações de tabelas de mortalidade são tão diversas e distintas quanto se possa imaginar. Um exemplo de uma aplicação peculiar é no cálculo da probabilidade que um casal tem de se divorciar depois de estar em terapia de casais, assumindo uma probabilidade de divórcio em função do tempo que já passaram em terapia. No entanto, as aplicações que estão inclusivamente na génese do seu desenvolvimento prendem-se com o cálculo de prémios de seguros de vida e com os fundos de pensão.

De acordo com Instituto Português de Seguros, "um fundo de pensões é um património autónomo que se destina exclusivamente ao financiamento de um ou mais planos de pensões e/ou planos de benefícios de saúde", onde "um plano de pensões é um programa que define as condições para receber uma pensão derivada de reforma por velhice, reforma por invalidez, pré-reforma, reforma antecipada e sobrevivência". Um caso particular, e magnânimo, de um fundo de pensões é a segurança social de qualquer país. Assim, as tabelas de mortalidade mostram-se essenciais à gestão nacional, dado o papel da segurança social na equidade social de cada país. Os leitores mais atentos devem estar sensibilizados para o problema generalizado que as seguranças sociais de todos os países desenvolvidos enfrentam, e em particular Portugal. De facto como anunciado pelo primeiro ministro na altura, José Sócrates, aquando do Orçamento de Estado para 2011, admitindo a evolução dos indicadores demográficos, em particular da mortalidade, existe um grande risco de ruptura da segurança social durante meados da década de 30, do presente milénio. Registou-se que o modelo de mortalidade utilizado era desadequado já que não admitia a influência do tempo na mortalidade, e como podemos observar, com o passar dos anos as pessoas tendem a viver mais tempo; os nossos avós viveram mais anos do que os seus avós, por exemplo. Outras influências do tempo na mortalidade podem ser vistas nos chamados fenómenos da retangularização e compressão da mortalidade, que foram observados por diversos demógrafos através de dados do século passado. Estes fenómenos podem ser observados na figura 1.1. O fenómeno da compressão caracteriza-se pela diminuição do número de idades em que é normal ocorrerem óbitos; as primeiras duas setas na figura exemplificam este fenómeno. O fenómeno da retangularização, exemplificado pelas restantes setas, refere-se à forma cada vez mais rectangular que esta função toma. Interpretando para o âmbito do estudo, as mortes concentram-se cada vez em idades mais avançadas e cada vez num menor intervalo de idades.

Assim é preciso construir um modelo que contemple a influência do tempo na mortalidade, e que respeite todos as hipóteses empíricas que os demógrafos têm vindo a estabelecer. Com este podemos construir uma tabela de mortalidade que adequadamente nos vai permitir estimar o número de indivíduos que irá morrer depois da idade de reforma. Desta forma podemos calcular o número de pensionistas que existirão e saber qual o cenário que iremos enfrentar no futuro. Tudo isto para que, como urge o bastonário da Ordem dos Economistas, se aplique uma reforma à Segurança Social para que esta se torne sustentável para as próximas gerações. E é este o grande desafio que os demógrafos, matemáticos e actuários têm vindo a enfrentar durante as últimas duas décadas.

A Arte Matemática de Escher

Maurits Cornelis Escher nasceu em Leeuwarden, na Holanda, em 1898, criou obras únicas e fascinantes de  arte que exploram e apresentam uma grande variedade de ideias matemáticas.

Na Escola de Arquitectura e Artes Decorativas em Haarlem foi encorajado a continuar com os trabalhos de artes gráficas por Samuel Jessurun de Mesquita, o seu professor de arte gráfica.

Em 1922, viajou por Itália e por Espanha, sendo esta viagem uma enorme influência para toda a sua obra artística. Os padrões esculpidos nas paredes do Alhambra, um castelo mouro do século XIV, em Granada, Espanha, e os mosaicos encontrados nos pisos das basílicas e igrejas italianas causaram grande impacto em Escher.

Divisões regulares do plano, chamadas de mosaicos ou tesselação, são arranjos de formas fechadas que cobrem completamente o plano sem sobreposição e sem deixar lacunas. Tipicamente, as formas que compõem um mosaico são polígonos regulares ou formas semelhantes, tais como os azulejos quadrados frequentemente utilizadas em pisos. Escher, no entanto, foi fascinado por todo tipo de tesselação - regular e irregular - e teve a sua especial atenção para os que ele chamou de "metamorfoses", em que as formas mudaram e interagiram umas com as outras.

Como demonstra a Matemática, as únicas formas elementares usadas como padrão utilizadas são os triângulos equiláteros, os quadrados e os hexágonos regulares, porque só é possível realizar divisões regulares do plano com estes três polígonos regulares.

Quando olhamos para a obra de Escher, não reconhecemos imediatamente qualquer um destes polígonos na composição dos seus padrões. No entanto se repararmos com mais atenção, para as mesmas imagens, verificamos que este desenhador decidiu usar a Arte para ludibriar a Matemática. Pegou num quadrado e recortando e acrescentando várias formas conseguiu transformá-lo num peixe com a mesma área.

Deste modo, as figuras encaixam perfeitamente nas pavimentações do plano, e são bastante mais atraentes do que um simples quadrado. Do mesmo modo, Escher pegou num triângulo equilátero e transformou-o noutra imagem mais apelativa.

Assim, Escher criou obras magníficas de mosaicos com as suas metamorfoses.´