Um integral infinitamente interessante

Se perguntarmos a algum matemático, como se calcula a área de curvas, ou de linhas não retas, dir-nos-á que deveremos utilizar o integral. Mas se tivermos na prática de pintar um muro, a quantidade de tinta que usaremos é proporcional à área do muro. E se o muro tiver um comprimento infinito? Deduzimos facilmente que a área será infinita. Mas não o é? Se a altura do muro decrescer muito rapidamente à medida que avançamos, como acontece com a expressão $e^{-x}$ veremos que na realidade a área dará um número finito.

$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1$

Concluimos assim, que teoricamente podemos ter muros com comprimento infinito, mas com área finita. Estes são os casos dos chamados integrais impróprios convergentes.

Limite interessante ((1+x)^(1/x)-e)/x

Resolvemos no fórum um limite interessantíssimo:

Repara que a primeira parcela à esquerda no numerador é uma forma alternada de escrever o limite notável que dá 'e'. Assim este limite à primeira vista dá uma indeterminação zero sobre zero, que pode ser resolvida pela regra de Cauchy.

No entanto, de salientar que derivar o numerador envolve aquele caso pouco falado de derivar um função f elevada a uma função g, ou seja queremos derivar em ordem a 'x', (f)^(g), em que f e g dependem de 'x'. Veja a solução do problema aqui no fórum.