Como calcular a primitiva de sen(sqrt(x)) ?

Tentemos achar a seguinte primitiva:

$P sen{\sqrt{x}}$

Usaremos o método da primitivação por substituição e da primitivação por partes.

Façamos a seguinte substituição: $\sqrt{x}=t$

Temos então que:

$x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t$

Substituindo ficamos então com: $P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t$

Aplicamos agora a primitivação por partes

$u'=sen{t} \ \ u=-cos{t}$
$v=2t \ \ v'=2$

P s e n (t)2 t = - c o s (t)2 t - P 2( - c o s (t)) = - c o s (t)2 t + 2 P c o s (t) =

= - c o s (t)2 t + 2. s e n (t) + C = 2( - t . c o s (t) + s e n (t)) + C

fazendo agora a substituição inicial $t=\sqrt{x}$ temos o resultado final:

$P sen{\sqrt{x}}=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C$