Exemplo no cálculo de uma exponencial matricial




Imaginemos que queremos calcular eA sabendo que
A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
Calculemos A2,A3...An
A^{2}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, A^{3}=A^{2}A=\begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
A^{n}=\begin{bmatrix} 2^{n} & 2^{n-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, n\neq0
Sabemos então que
e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}
e^A=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!} = I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\begin{bmatrix} 2^{n} & 2^{n-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=
= I+\begin{bmatrix} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{n!} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
e^A=\begin{bmatrix} e^2 & \frac{1}{2}(e^2-1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
    

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