Exemplo no cálculo de uma exponencial matricial

Imaginemos que queremos calcular

e A

sabendo que

$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Calculemos

A 2, A 3 ... A n

$A^{2}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, A^{3}=A^{2}A=\begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A^{n}=\begin{bmatrix} 2^{n} & 2^{n-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, n\neq0$

Sabemos então que

$e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}$

$e^A=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!} = I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\begin{bmatrix} 2^{n} & 2^{n-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=$

$= I+\begin{bmatrix} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{n!} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$e^A=\begin{bmatrix} e^2 & \frac{1}{2}(e^2-1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

A Matemática Viva

Abstracta, racional, por vezes intuitiva, sempre filosófica a matemática é a ferramenta fundamental desde os tempos primordiais. Desde tempos imemoráveis que o Homem faz uso da matemática para auxílio ao seu quotidiano.

Mas desde quando na evolução humana, começou a nossa espécie a tecer raciocínios abstractos matemáticos? Foi um passo bastante longo, moroso, mas foi um passo deveras importantíssimo na evolução do Homem; muito mais relevante que a invenção do fogo ou da roda. O raciocínio abstracto é o que nos difere das outras espécies, para os crentes é uma dádiva divina que nos diferencia e nos torna superiores, para os incrédulos e laicos é somente um passo evolutivo devido às necessidades dos tempos e talvez mesmo por questões de sobrevivência.

O que é certo é que a Matemática, e posteriormente a Filosofia e as Artes talvez tenham sido as primeiras ferramentas que o Homem concebeu com a sua capacidade de abstracção.

Já na nossa era, os matemáticos tentaram-nos incutir uma Matemática extremamente racional e abstracta, muitas vezes sem quaisquer paralelismos com o mundo terreno. Talvez uma premonição, mas o que é certo é que o número um surgiu para representar um objecto físico.

A matemática surgiu como uma necessidade do Homem no seu trajecto evolutivo, à medida que aumentava o seu volume craniano, foi sendo dotado de raciocínios algébricos. Se o Pensamento foi uma dádiva de Deus ou uma necessidade não o sabemos, mas é este que fez o Homem evoluir, é este que nos diferencia das outras espécies, foi este que nos levou a Marte, que criou a roda, e que nos fornece todas as panóplias quer frívolas, quer de grande utilidade, do nosso mundo moderno.

A Matemática é Viva quando é processada por seres humanos, quando é intuitiva, quando a sentimos útil aos nosso pressupostos. Aliemos então a Matemática, supostamente estritamente pura implicando assim ser apenas racional, à criatividade e sensibilidade humanas. É esta união que torna a Matemática elegante

Sendo elegante,
A Matemática é Viva quando é Humana

Exemplo no cálculo de uma exponencial matricial

Sem comentários:

Enviar um comentário