Considerações matemáticas sobre o número de Euler

Na matemática , número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier,constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

$k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)$

para

r = k = 1

, ou seja:

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

ou ainda, substituindo-se n por $\frac{1}{h}$

$e = \lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}$

,cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Caracterizações menos triviais do número de Euler

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

O número

e

pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para

e x

quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

Aqui n! representa o factorial de n.

A função

e x

(função exponencial de base

e

) pode ser representada da seguinte forma:

$(\forall x\in\mathbb{R})$ ,

e x p (x) = e x

assim, por exemplo, tem-se :

$\exp(3)=e\times e \times e=e^3$ ou ainda

$\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}$

Outra maneira de se encontrar o valor de

e

é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}$

Ou, de forma mais simplificada:

$e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,$

que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:

$e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,$

Muitas outras séries, sequências, frações contínuas e produtos infinitos que representam

e

já foram desenvolvidas.

O Número de Euler no Cálculo

A função exponencial

y = e x

tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

$\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$

Isto significa que

e

tem a notável propriedade de que a taxa de variação de

e x

no ponto x = t vale

e t

. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções

y = k e x

, $(\forall k\in\mathbb{R})$ também são suas próprias derivadas.

Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir

e

como sendo o único número maior que zero tal que:

$\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}$

Mais Sobre o número de Euler

O número

e

é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de

e

foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de

e

foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que

e

é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:

$e^{i\pi}+1=0 \,$

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

$e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!$

que, por sua vez, advém da série de Taylor para

f (i x) = e i x

Leonhard Euler começou a usar a letra

e

para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de

e

foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque

e

é a primeira letra da palavra exponencial.

Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre

z e r o

e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a

e

Nas séries infinitas

Dentre as várias séries infinitas que resultam em

e

, têm-se, além da trivial:

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}$

$e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}$

$e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}$

Nos limites e produtos infinitos

Os produtos infinitos

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots$

$e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,$

, em que o n-ésimo factor corresponde à raiz do produto

$\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},$

resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:

$e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}$

$e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

$e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]$

O Número de Euler com os primeiros 510 dígitos decimais

$e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247$

$\;093\;699\;959\;574\;966\;967\;627\;724\;076\;630\;353\;547\;594\;571\;382$

$\;178\;525\;166\;427\;427\;466\;391\;932\;003\;059\;921\;817\;413\;596\;629$

$\;043\;572\;900\;334\;295\;260\;595\;630\;738\;132\;328\;627\;943\;490\;763$

$\;233\;829\;880\;753\;195\;251\;019\;011\;573\;834\;187\;930\;702\;154\;089$

$\;149\;934\;884\;167\;509\;244\;761\;460\;668\;082\;264\;800\;168\;477\;411$

$\;853\;742\;345\;442\;437\;107\;539\;077\;744\;992\;069\;551\;702\;761\;838$

$\;606\;261\;331\;384\;583\;000\;752\;044\;933\;826\;560\;297\;606\;737\;113$

$\;200\;709\;328\;709\;127\;443\;747\;047\;230\;696\;977\;209\;310\;141\;692$

$\;836\;819\;025\;515\;108\;657\;463\;772\;111\;252\;389\;784\;425\;056\;953$

$\;696\;770\;785\;449\;969\;967\;946\;864\;454\;905\;987\;931\;636\;889\;230$

$\;098\;793\;127\;736\;178\;215\;4\,\ldots$

A Matemática Viva

Abstracta, racional, por vezes intuitiva, sempre filosófica a matemática é a ferramenta fundamental desde os tempos primordiais. Desde tempos imemoráveis que o Homem faz uso da matemática para auxílio ao seu quotidiano.

Mas desde quando na evolução humana, começou a nossa espécie a tecer raciocínios abstractos matemáticos? Foi um passo bastante longo, moroso, mas foi um passo deveras importantíssimo na evolução do Homem; muito mais relevante que a invenção do fogo ou da roda. O raciocínio abstracto é o que nos difere das outras espécies, para os crentes é uma dádiva divina que nos diferencia e nos torna superiores, para os incrédulos e laicos é somente um passo evolutivo devido às necessidades dos tempos e talvez mesmo por questões de sobrevivência.

O que é certo é que a Matemática, e posteriormente a Filosofia e as Artes talvez tenham sido as primeiras ferramentas que o Homem concebeu com a sua capacidade de abstracção.

Já na nossa era, os matemáticos tentaram-nos incutir uma Matemática extremamente racional e abstracta, muitas vezes sem quaisquer paralelismos com o mundo terreno. Talvez uma premonição, mas o que é certo é que o número um surgiu para representar um objecto físico.

A matemática surgiu como uma necessidade do Homem no seu trajecto evolutivo, à medida que aumentava o seu volume craniano, foi sendo dotado de raciocínios algébricos. Se o Pensamento foi uma dádiva de Deus ou uma necessidade não o sabemos, mas é este que fez o Homem evoluir, é este que nos diferencia das outras espécies, foi este que nos levou a Marte, que criou a roda, e que nos fornece todas as panóplias quer frívolas, quer de grande utilidade, do nosso mundo moderno.

A Matemática é Viva quando é processada por seres humanos, quando é intuitiva, quando a sentimos útil aos nosso pressupostos. Aliemos então a Matemática, supostamente estritamente pura implicando assim ser apenas racional, à criatividade e sensibilidade humanas. É esta união que torna a Matemática elegante

Sendo elegante,
A Matemática é Viva quando é Humana