Breve explicação para o critério da comparação para séries

O critério da comparação, ou teste da comparação estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas.

Sejam as séries:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$
$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$

Então se $0\leq a_n\leq b_n$ , para todo o $n \geq p$ , e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se $|a_n|\leq b_n$ , então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

$l = \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} : b_n \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}$

se $l \in \left]0,\infty\right[$ as séries $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ e $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ têm a mesma natureza.

se $l = 0$

(a) se $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge

(b) se $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge, então $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ diverge

se $l = +\infty$

(a) se $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge

(b) se $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ diverge, então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge

Qualquer dúvida ou esclarecimento não hesite em perguntar no fórum ou comentar aqui.

Breve explicação para o critério da comparação para séries

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