Breve explicação para o critério da comparação para séries

O critério da comparação, ou teste da comparação estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas.

Sejam as séries:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$
$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$

Então se $0\leq a_n\leq b_n$ , para todo o $n \geq p$ , e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se $|a_n|\leq b_n$ , então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

$l = \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} : b_n \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}$

se $l \in \left]0,\infty\right[$ as séries $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ e $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ têm a mesma natureza.

se $l = 0$

(a) se $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge

(b) se $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge, então $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ diverge

se $l = +\infty$

(a) se $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge

(b) se $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ diverge, então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge

Qualquer dúvida ou esclarecimento não hesite em perguntar no fórum ou comentar aqui.

A Matemática Viva

Abstracta, racional, por vezes intuitiva, sempre filosófica a matemática é a ferramenta fundamental desde os tempos primordiais. Desde tempos imemoráveis que o Homem faz uso da matemática para auxílio ao seu quotidiano.

Mas desde quando na evolução humana, começou a nossa espécie a tecer raciocínios abstractos matemáticos? Foi um passo bastante longo, moroso, mas foi um passo deveras importantíssimo na evolução do Homem; muito mais relevante que a invenção do fogo ou da roda. O raciocínio abstracto é o que nos difere das outras espécies, para os crentes é uma dádiva divina que nos diferencia e nos torna superiores, para os incrédulos e laicos é somente um passo evolutivo devido às necessidades dos tempos e talvez mesmo por questões de sobrevivência.

O que é certo é que a Matemática, e posteriormente a Filosofia e as Artes talvez tenham sido as primeiras ferramentas que o Homem concebeu com a sua capacidade de abstracção.

Já na nossa era, os matemáticos tentaram-nos incutir uma Matemática extremamente racional e abstracta, muitas vezes sem quaisquer paralelismos com o mundo terreno. Talvez uma premonição, mas o que é certo é que o número um surgiu para representar um objecto físico.

A matemática surgiu como uma necessidade do Homem no seu trajecto evolutivo, à medida que aumentava o seu volume craniano, foi sendo dotado de raciocínios algébricos. Se o Pensamento foi uma dádiva de Deus ou uma necessidade não o sabemos, mas é este que fez o Homem evoluir, é este que nos diferencia das outras espécies, foi este que nos levou a Marte, que criou a roda, e que nos fornece todas as panóplias quer frívolas, quer de grande utilidade, do nosso mundo moderno.

A Matemática é Viva quando é processada por seres humanos, quando é intuitiva, quando a sentimos útil aos nosso pressupostos. Aliemos então a Matemática, supostamente estritamente pura implicando assim ser apenas racional, à criatividade e sensibilidade humanas. É esta união que torna a Matemática elegante

Sendo elegante,
A Matemática é Viva quando é Humana

Breve explicação para o critério da comparação para séries

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