Exemplo no cálculo de uma exponencial matricial

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Imaginemos que queremos calcular eA sabendo que
A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
Calculemos A2,A3...An
A^{2}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, A^{3}=A^{2}A=\begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
A^{n}=\begin{bmatrix} 2^{n} & 2^{n-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, n\neq0
Sabemos então que
e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}
e^A=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!} = I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\begin{bmatrix} 2^{n} & 2^{n-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=
= I+\begin{bmatrix} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{n!} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
e^A=\begin{bmatrix} e^2 & \frac{1}{2}(e^2-1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
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Considerações sobre os fractais

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Fractais são figuras da geometria com grande paralelismo com as figuras presentes na Natureza e no Universo, obtidos através de algoritmos matemáticos determinísticos ou estocásticos.
A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.
Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.
O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.
Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos.

História

Floco de neve de Koch
Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza.
A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico.
Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.
Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir da década de 1960, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot.

Categorias de fractais

A conjunto inteiro de Mandelbrot
Ampliado 4x
Ampliado 30x
Zoomed 350xAumento de 350 vezes do conjunto de Mandelbrot mostra os pequenos detalhes repetindo o conjunto inteiro.
Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:
  • Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regra fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square,esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.
  • Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.
  • Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e ovôo de Lévy.
Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua autossimilaridade. Existem três tipos de autossimilaridade encontrados em fractais:
  • Autossimilaridade exata: é a forma em que a autossimilaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma autossimilaridade exata.
  • Quase-autossimilaridade: é uma forma mais solta de autossimilaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-autossimilares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-autossimilares, mas não exatamente autossimilares.
  • Autossimilaridade estatística: é a forma menos evidente de autossimilaridade. O fractal possui medidas númericas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam alguma forma de autossimilaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem autossimilaridade estatística, mas não são exatamente nem quase autossimilares.
Entretanto, nem todos os objetos autossimilares são considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo, é exatamente autossimilar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real representam propriedades complexas e não repetitivas.
Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.

Um conjunto de Julia, um fractal relacionado ao conjunto Mandelbrot

Um brócolis como exemplo de um belo fractal natural.

Uma animação com uma fractal que modela a superfície de uma montanha

Duas folhas de acrílico cobertas de cola, quando espremidas formam um fractal natural

Uma perturbação causada por alta tensãoem um bloco de acrílico cria um fractalAgregação por difusão limitada.
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Fractal conjunto de Julia
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Considerações matemáticas sobre o número de Euler

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Na matemática , número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier,constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)
para r = k = 1, ou seja:
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
ou ainda, substituindo-se n por \frac{1}{h}
e = \lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}
,cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Caracterizações menos triviais do número de Euler

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:  \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
O número e pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para ex quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:
e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots
Aqui n! representa o factorial de n.
A função ex (função exponencial de base e) pode ser representada da seguinte forma:
(\forall x\in\mathbb{R}), exp(x) = ex
assim, por exemplo, tem-se :
\exp(3)=e\times e \times e=e^3 ou ainda
\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}
Outra maneira de se encontrar o valor de e é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:
e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}
Ou, de forma mais simplificada:
e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,
que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:
e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,
Muitas outras séries, sequências, frações contínuas e produtos infinitos que representam e já foram desenvolvidas.

O Número de Euler no Cálculo

A função exponencial y = ex tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}
Isto significa que e tem a notável propriedade de que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções y = kex, (\forall k\in\mathbb{R}) também são suas próprias derivadas.
Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir e como sendo o único número maior que zero tal que:
\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}


Mais Sobre o número de Euler

O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.
Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.
Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:
e^{i\pi}+1=0 \,
Obtém-se tal relação por meio da fórmula:
e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!
que, por sua vez, advém da série de Taylor para f(ix) = eix.
Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque e é a primeira letra da palavra exponencial.
Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

Nas séries infinitas

Dentre as várias séries infinitas que resultam em e, têm-se, além da trivial:
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}

 Nos limites e produtos infinitos

Os produtos infinitos
e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots
e
e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,
, em que o n-ésimo factor corresponde à raiz do produto
\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},
resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:
e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}
e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]
O Número de Euler com os primeiros 510 dígitos decimais

e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247
\;093\;699\;959\;574\;966\;967\;627\;724\;076\;630\;353\;547\;594\;571\;382
\;178\;525\;166\;427\;427\;466\;391\;932\;003\;059\;921\;817\;413\;596\;629
\;043\;572\;900\;334\;295\;260\;595\;630\;738\;132\;328\;627\;943\;490\;763
\;233\;829\;880\;753\;195\;251\;019\;011\;573\;834\;187\;930\;702\;154\;089
\;149\;934\;884\;167\;509\;244\;761\;460\;668\;082\;264\;800\;168\;477\;411
\;853\;742\;345\;442\;437\;107\;539\;077\;744\;992\;069\;551\;702\;761\;838
\;606\;261\;331\;384\;583\;000\;752\;044\;933\;826\;560\;297\;606\;737\;113
\;200\;709\;328\;709\;127\;443\;747\;047\;230\;696\;977\;209\;310\;141\;692
\;836\;819\;025\;515\;108\;657\;463\;772\;111\;252\;389\;784\;425\;056\;953
\;696\;770\;785\;449\;969\;967\;946\;864\;454\;905\;987\;931\;636\;889\;230
\;098\;793\;127\;736\;178\;215\;4\,\ldots
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