Breve explicação para o critério d'Alembert ou critério da razão

Em Matemática, o critério da razão ou critério d'Alembert é um teste para se saber se uma série é convergente ou não.

Seja $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ uma série de termos positivos.

Fazendo-se $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$

Se:

$L<1 \!$ a série é absolutamente convergente (portanto convergente)
$L>1 \!$ ou $L = \infty\!$ a série é divergente
$L=1 \!$ o teste é inconclusivo

Exemplo

Seja: $a_n=\frac{n+1}{n!}$

Clasificar $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

a) $a_n=\frac{n+1}{n!} > 0$

b) $\frac{n+1}{n!}$ tende para zero quando

n

tende para infinito, pois

n!

cresce muito mais rapidamente que

n

c) Aplicando o critério D'Alembert:

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2}=$ $=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0$

e como

L < 1

, a série $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge.

Qualquer dúvida que tenha ou sugestão deixe comentário.

A Matemática Viva

Abstracta, racional, por vezes intuitiva, sempre filosófica a matemática é a ferramenta fundamental desde os tempos primordiais. Desde tempos imemoráveis que o Homem faz uso da matemática para auxílio ao seu quotidiano.

Mas desde quando na evolução humana, começou a nossa espécie a tecer raciocínios abstractos matemáticos? Foi um passo bastante longo, moroso, mas foi um passo deveras importantíssimo na evolução do Homem; muito mais relevante que a invenção do fogo ou da roda. O raciocínio abstracto é o que nos difere das outras espécies, para os crentes é uma dádiva divina que nos diferencia e nos torna superiores, para os incrédulos e laicos é somente um passo evolutivo devido às necessidades dos tempos e talvez mesmo por questões de sobrevivência.

O que é certo é que a Matemática, e posteriormente a Filosofia e as Artes talvez tenham sido as primeiras ferramentas que o Homem concebeu com a sua capacidade de abstracção.

Já na nossa era, os matemáticos tentaram-nos incutir uma Matemática extremamente racional e abstracta, muitas vezes sem quaisquer paralelismos com o mundo terreno. Talvez uma premonição, mas o que é certo é que o número um surgiu para representar um objecto físico.

A matemática surgiu como uma necessidade do Homem no seu trajecto evolutivo, à medida que aumentava o seu volume craniano, foi sendo dotado de raciocínios algébricos. Se o Pensamento foi uma dádiva de Deus ou uma necessidade não o sabemos, mas é este que fez o Homem evoluir, é este que nos diferencia das outras espécies, foi este que nos levou a Marte, que criou a roda, e que nos fornece todas as panóplias quer frívolas, quer de grande utilidade, do nosso mundo moderno.

A Matemática é Viva quando é processada por seres humanos, quando é intuitiva, quando a sentimos útil aos nosso pressupostos. Aliemos então a Matemática, supostamente estritamente pura implicando assim ser apenas racional, à criatividade e sensibilidade humanas. É esta união que torna a Matemática elegante

Sendo elegante,
A Matemática é Viva quando é Humana

Breve explicação para o critério d'Alembert ou critério da razão

Exemplo

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