Breve explicação do critério da raiz para aferir a convergência de séries

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O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, este teorema é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e o respectivo raio de convergência.


Enunciado

Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_n uma série numérica e a constante k definida pelo limite:
  • k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
Então:
  • Se k < 1, a série converge absolutamente
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir
No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de k por:
  • k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}



Exemplo 1

Considere a série dada por:
  • \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}
k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}= \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2}=\frac{1}{2}<1
Portanto a série converge.


Exemplo 2

Considere a série dada por:
  • \sum_{n=0}^{\infty}2^{n(-1)^n}
k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{n(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(2^{(-1)^n})^n|} =\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{(-1)^n}|^n}=
=\lim_{n \to \infty}{|2^{(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty}b_n, em que:
b_n = \begin{cases} 2, & \mbox{se n par} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{se n ímpar } \end{cases}
Então bn não tem limite, ou seja, \lim_{n \to \infty}b_n não existe.
Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos
k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty} (b_n) =2>1
Como 2 > 1, a série é divergente.

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Breve explicação para o critério d'Alembert ou critério da razão

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Em Matemática, o critério da razão ou critério d'Alembert é um teste para se saber se uma série é convergente ou não.
Seja \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} uma série de termos positivos.
Fazendo-se \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L
Se:
  • L<1 \! a série é absolutamente convergente (portanto convergente)
  • L>1 \! ou  L = \infty\! a série é divergente
  • L=1 \! o teste é inconclusivo


Exemplo

Seja: a_n=\frac{n+1}{n!}
Clasificar \sum_{n=1}^{\infty}a_n
a) a_n=\frac{n+1}{n!} > 0
b) \frac{n+1}{n!} tende para zero quando n tende para infinito, pois n! cresce muito mais rapidamente que n.
c) Aplicando o critério D'Alembert:
L=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2}= =\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0
e como L < 1, a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge.

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Exames resolvidos de Análise Matemática I da FCT-UNL

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Já estão disponíveis na Matemática Viva diversos exames e testes resolvidos para acervo pedagógico e de estudo, da cadeira de Análise Matemática I (AMI) da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa (FCT-UNL). Tem ao seu dispor diversos exames e testes, essencialmente dos semestres mais recentes, assim como as respectivas resoluções.

Descarregue aqui o material pedagógico.
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Teorema de Pitágoras - A Demonstração do Iniciado

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Triângulo rectângulo
Pitágoras de Siracusa, 
um dia disse aos netos, 
o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma do quadrado dos catetos

Foi desta forma poética e sublime que enquanto criança obtive uma formulação matemática para um tratado geométrico tão ancestral como o Teorema de Pitágoras. Bem sei que Pitágoras era de Samos e não de Siracusa, e também há quem refira que parte deste teorema já era conhecido antes de Pitágoras pelos Babilónios, mas foi a Pitágoras que foi atribuído o cânone matemático supremo, metafísico e sacral. Diversa bibliografia refere Pitágoras como um iniciado e pertencente às sociedades secretas predecessoras da Maçonaria. Pitágoras fundou uma escola mística e filosófica em Crotona, que fazia parte das colónias gregas na península itálica; escola cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinónimo da harmonia, constituído da soma de pares e ímpares, pois os números pares e ímpares expressam as relações que se encontram em permanente processo de mutação; são considerados como a essência das coisas, criando noções opostas e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmos é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o Universo. Evidências disso estariam no dia e na noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de Cosmos, termo que contém as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos, já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao carácter esotérico e secreto da escola, deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo rectângulo.

A descoberta foi enunciada no Teorema de Pitágoras.

A demonstração mais ancestral - Por comparação de áreas

Demonstração por comparação das áreas
Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, alguns autores concordam que ela teria sido feita através da comparação de áreas, conforme se segue:


  1. Desenha-se um quadrado de lado a + b;
  2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
  3. Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos rectângulos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
  4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos rectângulos é igual a a2 + b2;
  5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos rectângulos noutra posição.
  6. A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos rectângulos é igual a c2.
Como a2 + b2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos rectângulos, e c2 representa a mesma área, então a2 + b2 = c2. Ou seja, num triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida b e a foram chamados de catetos.

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