Convergência
Para estudar a série quanto à convergência poderemos utilizar o critério da comparação. Sabemos que:
O critério da comparação diz que dada uma série
e uma série
se
então as duas séries têm a mesma natureza (convergência ou divergência)
Sabemos pelo critério de Dirichlet que uma série do género
converge para α > 1. Então
é convergente. Vamos comparar esta série com a série do enunciado pelo critério de comparação.
Logo, pelo critério da comparação, como 1 é um número finito, a série do enunciado também é convergente.
Soma
Como a série é convergente vamos tentar determinar a soma de:
Sabemos que:
Vamos então tentar separar os factores em dois termos numa soma
As regras da álgebra dizem que nestes casos calcula-se A e B, sendo
Então a série pode ser reescrita da seguinte forma
Nestes casos aplicamos o teorema das séries redutíveis ou séries de Mengoli em que sabemos que a soma é
Vamos então achar o termo geral u(n) e o número natural k
Como a série começa em n=2 temos então a seguinte soma
Este resultado pode ser confirmado no sítio da inter-rede para cálculo numérico e simbólico aqui.
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fixe
ResponderEliminardanka scheun
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