Embelezando a metafísica Euleriana...

A beleza da matemática não está somente na resolução de problemas da vida real. Por vezes uma simples equação pode ser motivo de gozo e satisfação do mais autêntico matemático.
Uma das equações que representa a beleza no ideal matemático é a seguinte identidade:

Não só ela é simples e elegante, como usa as operações soma, multiplicação e exponenciação uma vez cada, e contém os números e, número irracional e base dos logaritmos naturais, i, a raíz quadrada de -1 e portanto um número imaginário, π, omnipresente em trigonometria, o número 1, identidade na multiplicação e o número 0, identidade na adição.

O matemático é também o poeta que joga com os números, buscando a perfeição.

Pensamentos transcendentais por José Maria Sousa

Exame Nacional de Matemática A 2010 1ª fase

O exame nacional de Matemática A de 2010 foi no dia de ontem 21 de Junho pelas 9:00 da manhã. Pela minha experiência de explicador achei-o bastante acessível em comparação com os de anos anteriores. O grupo de escolha múltipla fazia-se muito bem e a parte de probabilidade que por vezes requer mais astúcia por parte do aluno era bastante elementar. Confesso que na resolução do primeiro exercício de escolha múltipla, o que referia acontecimentos incompatíveis até achei que não era a que tinha pensado ser a resposta certa, tal a sua simplicidade. 

Envolvia conhecimentos simples de cálculo diferencial e alguns conhecimentos de cálculo complexo. Mas talvez seja um sinal positivo estar ambientado com testes nas escolas com um grau de dificuldade superior. É sinal que o ensino secundário nacional está mais exigente, e os exames nacionais são sempre bons para fazer uma avaliação justa e equitativa dos alunos que querem completar o nível secundário ou ingressar no ensino superior.

No entanto não posso deixar de referir que me pareceu bastante acessível o exame nacional de Matemática A este ano; quem tivesse estudado um pouco e tivesse uma nota positiva no nível secundário por certo terá uma boa nota neste exame. Veremos como será o da segunda fase!

O exame juntamente com a sua resolução já está disponível na Matemática Viva.

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O cálculo de uma série com Mengoli, comparação e Dirichilet

Convergência

Para estudar a série quanto à convergência poderemos utilizar o critério da comparação. Sabemos que:

O critério da comparação diz que dada uma série 

e uma série

se

então as duas séries têm a mesma natureza (convergência ou divergência)

Sabemos pelo critério de Dirichlet que uma série do género 

converge para α > 1. Então

é convergente. Vamos comparar esta série com a série do enunciado pelo critério de comparação.

Logo, pelo critério da comparação, como 1 é um número finito, a série do enunciado também é convergente.

Soma

Como a série é convergente vamos tentar determinar a soma de:

 

Sabemos que:

  

Vamos então tentar separar os factores em dois termos numa soma

  

As regras da álgebra dizem que nestes casos calcula-se A e B, sendo

 

Então a série pode ser reescrita da seguinte forma

Nestes casos aplicamos o teorema das séries redutíveis ou séries de Mengoli em que sabemos que a soma é

Vamos então achar o termo geral u(n) e o número natural k

Como a série começa em n=2 temos então a seguinte soma

Este resultado pode ser confirmado no sítio da inter-rede para cálculo numérico e simbólico aqui.

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