Pequena demonstração da derivada de x^n

Pretendo aqui fazer uma pequena demonstração de como se obtém a tão famosa derivada dos polinómios de grau n

É sabido que a derivada num ponto é dada por

Então para qualquer ponto da função, obtemos

Vamos então agora fazer um pequeno desenvolvimento, envolvendo o binómio de Newton

 

  

Faremos agora uma mudança de variável no somatório, fazendo (n-1-p=i) que equivale a dizer (p=n-1-i) e os extremos do somatório continuaram a ser entre 0 e n-1. Resulta então em

Como o termo ‘i’ é sempre diferente de zero no somatório, nunca existe indeterminação do tipo zero sobre zero no termo ‘h’. Como o termo ‘h’ está a multiplicar, ao tender para zero todos os termos do somatório tenderão para zero, resultando em

 

  

 

O resultado fica então como popularmente se sabe, e está inscrito em qualquer tabela de derivadas

Nota: Relembro apenas as fórmulas das combinatórias e do binómio de Newton