Como distinguir Arranjos completos, Arranjos simples e Combinações?

Muitos alunos ficam perplexos e atónitos quando se deparam com a matéria em que é necessário distinguir estes três casos. Quando aplicar os Arranjos completos, os arranjos simples ou as combinações?

Para responder a esta questão elaborarei três casos paradigmáticos:

• O código do Multibanco
• O almoço das quatro amigas
• O euromilhões

 - O código do multibanco 
 - Arranjos completos

Quantos de nós têm de escolher um código para efectuar operações com o multibanco. Um código é-nos dado, mas podemos alterá-lo quando quisermos. Mas quantos códigos podemos escolher?

Temos quatro dígitos, onde em cada dígito podemos escolher de entre dez números, do zero ao nove; o zero também conta pois também podemos escolhê-lo. Podemos repetir os algarismos o número de vezes que quisermos, pois os códigos 1111 e 5544 são válidos, em que no primeiro caso temos o 1 repetido e no segundo caso repetimos o 5 e o 4. E a ordem conta, ou seja, o código 1234 é diferente do 4321.

Então quando há repetição e a ordem conta estamos perante Arranjos Completos

No caso do multibanco temos arranjos de dez, quatro a quatro. A fórmula geral é dada no seguimento

Podemos escolher então de entre dez mil códigos multibanco possíveis. Em qualquer palavra-passe onde se possam repetir os caracteres e onde a ordem pelos quais os caracteres estão ordenados seja preponderante, pode-se aplicar os arranjos completos.

 - O almoço das quatro amigas 
 - Arranjos simples

A Rita, a Patrícia, a Joana e a Andreia decidem ir almoçar.

A mesa é quadrada e tem quatro lugares distintos. De quantas maneiras diferentes se podem sentar as quatro amigas? Podemos sentar a Rita em quatro lugares distintos, mas assim que escolhermos um lugar para a Rita esse lugar ficará dado e ocupado.

E bem sabemos como são as mulheres no que concerne ao lugar onde se irão sentar, como tal a ordem pela qual vão ficar sentadas conta. A Andreia sentar-se no lugar em frente à janela é diferente de sentar-se no lugar ao lado da casa-de-banho. E lembremo-nos que Rita, só há uma. A Rita não se repete, logo neste caso não existe repetição.

Resumindo, temos quatro amigas para quatro cadeiras, onde a ordem conta e não há repetição. A ordem conta porque sentá-las em locais diferentes, resulta em casos diferentes, e não há repetição, pois Patrícia no almoço, só há uma.

Temos então Arranjos simples de quatro elementos quatro a quatro

Temos então vinte e quatro maneiras diferente de sentar quatro amigas num almoço de confraternização. Lembremo-nos que 0! = 1

Nos Arranjos simples a ordem conta e não há repetição.

Resumindo, no caso paradigmático das quatro amigas, estamos perante Arranjos simples.

 - O euromilhões 
 - Combinações

Foquemo-nos somente nas estrelas do Euromilhões. Podemos escolher duas estrelas de entre nove números tal como refere a imagem.

De quantas maneiras diferentes podemos escolher duas estrelas de entre nove números no euromilhões? A partir do momento em que escolhemos a estrela número dois, já não podemos voltar a escolhê-la, logo não existe repetição. E escolher em primeiro lugar a estrela número dois e depois escolher a estrela número nove, ou vice-versa, é completamente indiferente, logo a ordem não conta.

Quando a ordem não conta e não existe repetição estamos perante Combinações que tem como caso paradigmático o Euromilhões. Neste caso teríamos combinações de nove elementos dois a dois.

Existem então trinta e seis maneiras diferentes de preencher as estrelas no Euromilhões. Quando não há repetição e a ordem não conta, estamos perante Combinações.

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Resumindo

Arranjos Completos (A') - Há repetição, a Ordem conta

Arranjos Simples (A) - Não há repetição, a Ordem conta

Combinações (C) - Não há repetição, a Ordem não conta

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Todos os outros casos mais complexos que possamos ter, são uniões de vários casos destes acima referidos, ou uniões de casos diferentes. É preciso saber qual das situações aplicar, se Arranjos Completos, Arranjos simples ou Combinações, tendo em conta se há ou não repetição ou se a ordem conta ou não. Para cada um destes casos temos um caso paradigmático do quotidiano de cada um que pode ser aplicado.