Como calcular a Primitiva de (x.sen(x))² ?

Deparei-me com esta primitiva num exame de Matemática de um amigo meu da Universidade Nova de Lisboa. Com algumas manipulações trigonométricas e aplicando a primitivação por partes duas vezes, é possível chegar ao resultado pretendido.

Antes de mais é necessário separar os dois termos no quadrado e ter em consideração algumas igualdades trigonométricas

Podemos agora começar a primitivar a equação tendo em conta esta igualdade trigonométrica, pois conseguimos eliminar o quadrado do seno. Sendo assim ficamos com

A primitiva de x² é imediata. Para primitivar x²cos(2x) teremos que recorrer à primitivação por partes, ou seja

Quando primitivamos por partes temos de saber qual o termo que derivamos e qual o termo que primitivamos. Na fórmula acima mencionada primitivamos (v') pois ficamos com (v) e derivamos (u) pois ficamos com (u'). Neste caso vamos derivar o termos x² e primitivar o termo cos(2x)

Aplicamos novamente o método da primitivação por partes

Finalizando ficamos com

A Matemática Viva

Abstracta, racional, por vezes intuitiva, sempre filosófica a matemática é a ferramenta fundamental desde os tempos primordiais. Desde tempos imemoráveis que o Homem faz uso da matemática para auxílio ao seu quotidiano.

Mas desde quando na evolução humana, começou a nossa espécie a tecer raciocínios abstractos matemáticos? Foi um passo bastante longo, moroso, mas foi um passo deveras importantíssimo na evolução do Homem; muito mais relevante que a invenção do fogo ou da roda. O raciocínio abstracto é o que nos difere das outras espécies, para os crentes é uma dádiva divina que nos diferencia e nos torna superiores, para os incrédulos e laicos é somente um passo evolutivo devido às necessidades dos tempos e talvez mesmo por questões de sobrevivência.

O que é certo é que a Matemática, e posteriormente a Filosofia e as Artes talvez tenham sido as primeiras ferramentas que o Homem concebeu com a sua capacidade de abstracção.

Já na nossa era, os matemáticos tentaram-nos incutir uma Matemática extremamente racional e abstracta, muitas vezes sem quaisquer paralelismos com o mundo terreno. Talvez uma premonição, mas o que é certo é que o número um surgiu para representar um objecto físico.

A matemática surgiu como uma necessidade do Homem no seu trajecto evolutivo, à medida que aumentava o seu volume craniano, foi sendo dotado de raciocínios algébricos. Se o Pensamento foi uma dádiva de Deus ou uma necessidade não o sabemos, mas é este que fez o Homem evoluir, é este que nos diferencia das outras espécies, foi este que nos levou a Marte, que criou a roda, e que nos fornece todas as panóplias quer frívolas, quer de grande utilidade, do nosso mundo moderno.

A Matemática é Viva quando é processada por seres humanos, quando é intuitiva, quando a sentimos útil aos nosso pressupostos. Aliemos então a Matemática, supostamente estritamente pura implicando assim ser apenas racional, à criatividade e sensibilidade humanas. É esta união que torna a Matemática elegante

Sendo elegante,
A Matemática é Viva quando é Humana

Como calcular a Primitiva de (x.sen(x))² ?

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