Alguns cálculos com derivadas parciais de f(u,v)
Fazemos primeiramente a derivada de f em ordem a x
Agora fazemos a derivada de f em ordem a y
Finalmente juntamos as duas expressões tal como é referido no enunciado
Como calcular a primitiva de sqrt(x^2-4)/(x^4)?
Deparei-me recentemente com esta primitiva numa explicação e decidi partilhar os resultados convosco. Queremos então saber:
Quando estamos perante uma raiz quadrada deste género fazemos uma substituição do género x=a.sec(t)
Ora então perante este caso ficamos com os seguintes resultados
Sabendo a igualdade trigonométrica (sen(x))^2+(cos(x))^2=1, temos facilmente
Obtemos assim o resultado final em que no caso da primitiva havia que adicionar a constante C.
Para quaisquer primitivas contacte-me
Agrdecido
Uma bica curta para fazer contas sff!
Intrigaram homens solenes, fadistas, solistas e homens probos, matemáticos, físicos e músicos, que desconheciam o processo emblemático e quase místico físico-químico da osmose que reitera simplificadamente que quanto maior a concentração num líquido maior é a difusão, ora então é por um processo similar que quando uma bica é curta dá mais energia e mais pica, sendo que esta tem menos café, e tem menos cafeína, mas já os excelsos dos gregos exigiam diversas comprovações e postulados matemáticos para o que o empirismo contemplava, a razão a saciar os ímpetos dos sentidos.
Numa bica curta, passa menos água pelo filtro, ou seja quando o empregado lusitano dos cafés mundanos e lisboneses cerra as mãos no punho e o coloca na bica e pressiona o divino botão, logo de seguida o suco aquoso proveniente da empresa lisbonesa de fornecimento de água é escaldado, é aquecido a temperaturas escaldantes e ferventes percorrendo o filtro que se encontra no punho que o empregado cioso cerra com a mão direita.
Numa bica curta, passa menos água, mas a taxa instantânea de doseamento de cafeína para a chávena e para a água por certo obedecem a uma função exponencialmente decrescente, ou seja meus caros, no instante imediatamente seguinte ao pressionar no botão da máquina é debitada na água altas doses de cafeína, enquanto que passados alguns segundos, talvez quinze, a quantidade de café a juntar à água é muito menor.
Isto traduz-se numa equação exponencialmente decrescente, que tem um certo declive e um valor inicial, que nos dá a quantidade de café que é colocado na água em gramas por segundo, ou seja é uma taxa instantânea de débito de café na água e será algo como:
O gráfico desta equação é conhecido pelos matemáticos mesmo antes de Neper ter conjurado sobre o famoso número e será algo como:
Neste caso a constante inicial Tc0 é 1 e a constante do declive L também é 1.
Ora a água que penetra no filtro e trespassa o café tem uma taxa constante na saída da bica, na saída da boca da torneira, e essa taxa constante é dado pelo gráfico cuja linha traça uma recta horizontal e cuja equação foi a primeira elaborada pelos homens, que será algo como, em mililitros por segundo:
Ora, como aferir então a concentração do café na água? Será necessário calcular a quantidade de café que foi debitada a partir do integral da equação de cima e na de baixo na quantidade de água, como é uma constante bastará multiplicar pelo tempo em segundos. Ou seja, a concentração de café ou cafeína numa bica, será a quantidade de café que existe nessa chávena em gramas a dividir pela quantidade de água que a chávena contém em mililitros que será então:
Este é o gráfico da concentração da bica na chávena em g/ml ao fim de t segundos. Neste gráfico, a fracção Tc0/Ta é igual a 1 e a constante L é também igual a 1.
A concentração no instante inicial é máxima, e vai decrescendo com o tempo, ora deve existir um instante, ou seja um ponto em t, onde o efeito estimulante no corpo humano é máximo. No princípio, mesmo apesar de a concentração ser muito alta, não temos café suficiente para surtir qualquer efeito considerável, mas a partir de um certo instante, mesmo apesar de haver mais cafeína na chávena, como a concentração vai diminuindo, por efeitos de osmose não haverão efeitos tão estimulantes no corpo humano. Esse ponto estará algures por certo no instante t, cuja concentração seja superior a 80% da concentração inicial máxima.
Venha uma bica curta sff para me ajudar a fazer contas!
Obrigado e até amanhã!
Embelezando a metafísica Euleriana...
A beleza da matemática não está somente na resolução de problemas da vida real. Por vezes uma simples equação pode ser motivo de gozo e satisfação do mais autêntico matemático.
Uma das equações que representa a beleza no ideal matemático é a seguinte identidade:
Não só ela é simples e elegante, como usa as operações soma, multiplicação e exponenciação uma vez cada, e contém os números e, número irracional e base dos logaritmos naturais, i, a raíz quadrada de -1 e portanto um número imaginário, π, omnipresente em trigonometria, o número 1, identidade na multiplicação e o número 0, identidade na adição.
O matemático é também o poeta que joga com os números, buscando a perfeição.
Pensamentos transcendentais por José Maria Sousa
Uma das equações que representa a beleza no ideal matemático é a seguinte identidade:
Não só ela é simples e elegante, como usa as operações soma, multiplicação e exponenciação uma vez cada, e contém os números e, número irracional e base dos logaritmos naturais, i, a raíz quadrada de -1 e portanto um número imaginário, π, omnipresente em trigonometria, o número 1, identidade na multiplicação e o número 0, identidade na adição.
O matemático é também o poeta que joga com os números, buscando a perfeição.
Pensamentos transcendentais por José Maria Sousa
Exame Nacional de Matemática A 2010 1ª fase
O exame nacional de Matemática A de 2010 foi no dia de ontem 21 de Junho pelas 9:00 da manhã. Pela minha experiência de explicador achei-o bastante acessível em comparação com os de anos anteriores. O grupo de escolha múltipla fazia-se muito bem e a parte de probabilidade que por vezes requer mais astúcia por parte do aluno era bastante elementar. Confesso que na resolução do primeiro exercício de escolha múltipla, o que referia acontecimentos incompatíveis até achei que não era a que tinha pensado ser a resposta certa, tal a sua simplicidade.
Envolvia conhecimentos simples de cálculo diferencial e alguns conhecimentos de cálculo complexo. Mas talvez seja um sinal positivo estar ambientado com testes nas escolas com um grau de dificuldade superior. É sinal que o ensino secundário nacional está mais exigente, e os exames nacionais são sempre bons para fazer uma avaliação justa e equitativa dos alunos que querem completar o nível secundário ou ingressar no ensino superior.
No entanto não posso deixar de referir que me pareceu bastante acessível o exame nacional de Matemática A este ano; quem tivesse estudado um pouco e tivesse uma nota positiva no nível secundário por certo terá uma boa nota neste exame. Veremos como será o da segunda fase!
O exame juntamente com a sua resolução já está disponível na Matemática Viva.
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O cálculo de uma série com Mengoli, comparação e Dirichilet
Convergência
Para estudar a série quanto à convergência poderemos utilizar o critério da comparação. Sabemos que:
O critério da comparação diz que dada uma série
e uma série
se
então as duas séries têm a mesma natureza (convergência ou divergência)
Sabemos pelo critério de Dirichlet que uma série do género
converge para α > 1. Então
é convergente. Vamos comparar esta série com a série do enunciado pelo critério de comparação.
Logo, pelo critério da comparação, como 1 é um número finito, a série do enunciado também é convergente.
Soma
Como a série é convergente vamos tentar determinar a soma de:
Sabemos que:
Vamos então tentar separar os factores em dois termos numa soma
As regras da álgebra dizem que nestes casos calcula-se A e B, sendo
Então a série pode ser reescrita da seguinte forma
Nestes casos aplicamos o teorema das séries redutíveis ou séries de Mengoli em que sabemos que a soma é
Vamos então achar o termo geral u(n) e o número natural k
Como a série começa em n=2 temos então a seguinte soma
Este resultado pode ser confirmado no sítio da inter-rede para cálculo numérico e simbólico aqui.
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Resolução da prova específica de 2009 de Engenharia Mecânica do ISEL para maiores de 23
Deixo aqui para todos os interessados a resolução da prova específica de 2009 de Engenharia Mecânica do ISEL para maiores de 23. Estas são provas especialmente adequadas e destinadas a avaliar a capacidade para a frequência do ensino superior dos maiores de 23 anos, tal como refere o Decreto-Lei n.º 64/2006, de 21 de Março.
Agradecimentos solenes pela digitalização e resolução a Pedro Pais
Resolução do 1º Teste de Álgebra Linear e Geometria Analítica do ISEL de 3 de Maio de 2010
Deixo aqui para descarregamento de todos os interessados a resolução do 1º Teste de Álgebra Linear e Geometria Analítica do ISEL de 3 de Maio de 2010. Devo confessar que tive acesso à pauta com as notas e os resultados foram deveras avassaladores, talvez mais por despego dos alunos, do que propriamente pela dificuldade do teste.
- Visualiza o Enunciado e a Resolução
Boa sorte aos alunos para a cadeira de ALGA, e quaisquer dúvidas deixem comentários, que se as souber responder assim o farei com a brevidade possível.
Agradecimentos pela resolução e digitalização a Miguel Coelho
Formulários úteis para Análise Matemática
Coloco aqui para auxílio dos alunos que são discentes na cadeira de Análise Matemática em qualquer faculdade, diversos formulários bastantes úteis e aos quais recomendo vivamente a consulta.
- Domínios de funções
- Funções trigonométricas
- Generalidade de funções
- Regras de derivadas
- Resumo de séries
- Séries de Potência e Taylor
- Teorema de Rolle, Lagrange e Cauchy
- Resumo de todas as funções
Agradecimentos solenes ao Eng. Manuel Cerqueira
Regras e formulários de Cálculo Matricial e de Espaços Vectoriais para Álgebra Linear
Coloco aqui diversas regras e fórmulas relacionadas com cálculo matricial e resoluções de matrizes.
Termos como matriz inversa, simétrica, transconjugada, singular ou transposta são explicados neste documento
Qualquer dúvida ou sugestão deixe um comentário
Agradecimentos ao Eng. Manuel Cerqueira
Termos como matriz inversa, simétrica, transconjugada, singular ou transposta são explicados neste documento
Qualquer dúvida ou sugestão deixe um comentário
Agradecimentos ao Eng. Manuel Cerqueira
Resolução do Caderno de Janeiro de 2010 de Primitivas e Integrais da cadeira de Optimização do ISCTE
Aqui coloco para consulta de todos vós a resolução de muitos exercícios do caderno de Janeiro de 2010 de Primitivas e Integrais da cadeira de Optimização do ISCTE.
Os docentes da cadeira não facultaram as resoluções, sendo assim achei por bem, digitalizar as resoluções resolvidas em sessões de explicações e colocá-las no domínio público.
Pode visualizar ou descarregar os seguintes documentos
Agradecimentos pela digitalização e ajuda nas resoluções a Liliana Rodrigues.
Pequena demonstração da derivada de x^n
Pretendo aqui fazer uma pequena demonstração de como se obtém a tão famosa derivada dos polinómios de grau n
É sabido que a derivada num ponto é dada por
Então para qualquer ponto da função, obtemos
Vamos então agora fazer um pequeno desenvolvimento, envolvendo o binómio de Newton
Faremos agora uma mudança de variável no somatório, fazendo (n-1-p=i) que equivale a dizer (p=n-1-i) e os extremos do somatório continuaram a ser entre 0 e n-1. Resulta então em
Como o termo ‘i’ é sempre diferente de zero no somatório, nunca existe indeterminação do tipo zero sobre zero no termo ‘h’. Como o termo ‘h’ está a multiplicar, ao tender para zero todos os termos do somatório tenderão para zero, resultando em
O resultado fica então como popularmente se sabe, e está inscrito em qualquer tabela de derivadas
Nota: Relembro apenas as fórmulas das combinatórias e do binómio de Newton
Como calcular a Primitiva de (x.sen(x))² ?
Deparei-me com esta primitiva num exame de Matemática de um amigo meu da Universidade Nova de Lisboa. Com algumas manipulações trigonométricas e aplicando a primitivação por partes duas vezes, é possível chegar ao resultado pretendido.
Antes de mais é necessário separar os dois termos no quadrado e ter em consideração algumas igualdades trigonométricas
Podemos agora começar a primitivar a equação tendo em conta esta igualdade trigonométrica, pois conseguimos eliminar o quadrado do seno. Sendo assim ficamos com
A primitiva de x² é imediata. Para primitivar x²cos(2x) teremos que recorrer à primitivação por partes, ou seja
Quando primitivamos por partes temos de saber qual o termo que derivamos e qual o termo que primitivamos. Na fórmula acima mencionada primitivamos (v') pois ficamos com (v) e derivamos (u) pois ficamos com (u'). Neste caso vamos derivar o termos x² e primitivar o termo cos(2x)
Aplicamos novamente o método da primitivação por partes
Finalizando ficamos com
Antes de mais é necessário separar os dois termos no quadrado e ter em consideração algumas igualdades trigonométricas
A primitiva de x² é imediata. Para primitivar x²cos(2x) teremos que recorrer à primitivação por partes, ou seja
Quando primitivamos por partes temos de saber qual o termo que derivamos e qual o termo que primitivamos. Na fórmula acima mencionada primitivamos (v') pois ficamos com (v) e derivamos (u) pois ficamos com (u'). Neste caso vamos derivar o termos x² e primitivar o termo cos(2x)
Aplicamos novamente o método da primitivação por partes
Finalizando ficamos com
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