Entender a Refração da Luz, com a fuga do Lucas à polícia

Fonte: Wikipédia.

A refração da luz ocorre quando um feixe de luz, na imagem a vermelho, muda de um meio para outro meio com índice de refração diferente, ou seja, nestes diferentes meios (ar e água, por exemplo), a luz tem velocidades diferentes. Sabemos que a luz tem uma velocidade, que de acordo com a física moderna, representa o limite de velocidade máxima que alguma matéria com massa consegue atingir. Mas normalmente a velocidade da luz é apresentada como sendo a velocidade da luz no vácuo, sendo esta simbolizada pela letra c, e sendo igual a 299,792,458 metros por segundo. Para fácil memorizar, pode-mo-la aproximar a 300 mil km/s. Este valor representa sempre a velocidade da luz no vácuo, pois por exemplo a velocidade da luz no germânio é "apenas" cerca de 75 mil km/s, um valor bem inferior.

A fórmula que nos indica a relação entre os ângulos de incidência e refração, quando a luz atravessa de um meio para outro meio, é denominada por lei de Snell ou lei de Descartes. Mais precisamente, esta fórmula dá-nos o desvio angular sofrido por um raio de luz ao passar para um meio com índice de refração diferente do qual este estava percorrendo:

Para sabermos o índice de refração n de cada um dos meios, basta aplicarmos a seguinte fórmula:

Onde n é o índice de refração do meio escolhido (ar ou água, por exemplo); c é a velocidade da luz no vácuo (constante); e v é a velocidade que a luz tem no meio escolhido. Ou seja, basta dividir a velocidade da luz no vácuo pela velocidade da luz no meio escolhido, para termos o índice de refração desses mesmo meio. É por sabermos que o índice de refração n do germânio é aproximadamente igual a 4, que podemos inferir então que a velocidade da luz no germânio é cerca de 300 mil km/s a dividir por 4, ou seja, cerca de 75 mil km/s, como anteriormente referido.

Mas porque motivo um feixe de luz não segue "sempre em frente", e "desvia-se" quando passa de um meio para outro? E porque motivo a luz apenas se desvia quando entre num meio diferente na diagonal, ou seja "de lado", visto que quando o feixe de luz entra mesmo "de frente", ou seja, numa direção perpendicular à linha que separa os dois meios, a luz já não "se desvia"? Porquê?

A fuga do Lucas à polícia

O dia-a-dia do Lucas, bandido profissional, responde às perguntas anteriores. Imaginemos que o Lucas foge à polícia na sua favela, favela essa que conhece com bastante detalhe. Vem de um beco no fundo do lado esquerdo da imagem, e precisa de fugir para o topo do lado direito, para outro beco na favela. Mas entre os becos existe uma estrada de alcatrão, a cinzento na imagem, e uma pequena lagoa sem corrente, ou seja, com águas paradas, representada a azul e situada entre a estrada de alcatrão e o beco por onde o Lucas precisa de fugir da polícia. Qual o objetivo do Lucas? Obviamente chegar o mais rapidamente ao seu destino, visto que está a ser perseguido pela polícia ao longo dos becos da favela. E que trajeto deve tomar o Lucas? Normalmente, caso o meio que atravessa seja sempre o mesmo, o trajeto evidente é uma linha reta. Mas neste caso sabemos que o Lucas corre muito mais rapidamente do que nada, aliás como quase todas as pessoas. Logo, existirá um ponto divisório na transição entre o alcatrão e a lagoa, que minimiza o tempo que o Lucas leva a percorrer de um beco ao outro. E que ponto é esse? Embora o Lucas tenha um feeling, algo intuitivo visto conhecer bem a sua favela, que não deve seguir em linha reta para que possa chegar o mais rapidamente possível ao seu destino, é preciso "colocar a mão na massa" na Matemática, para achar com exatidão o referido ponto divisório entre estes dois meios.

O Lucas foge à polícia de um beco para outro beco, através de uma estrada de alcatrão onde corre e de uma lagoa onde nada. Qual o trajeto que o Lucas deverá fazer, para que o tempo que demora entre os dois becos seja o menor possível? Isto é, qual o trajeto que deverá fazer para chegar o mais rapidamente possível ao outro beco?

Assumamos os seguintes dados: a largura da estrada de alcatrão é d₁, e a largura da lagoa, admitamos retangular, é d₂. No alcatrão a velocidade do Lucas a correr é v₁ e na lagoa a sua velocidade a nadar é v₂. O ponto que queremos achar é a distância x, ou seja, a distância ao longo da direção da linha que separa os dois meios, entre o ponto de entrada do Lucas no alcatrão e o ponto de entrada na água. O ângulo de entrada na transição entre o alcatrão e a lagoa é θ₁ e o ângulo de saída dessa mesma transição é θ₂.

Sabemos que a velocidade média de um objeto é a variação do espaço percorrido em linha reta, sobre o tempo percorrido ao longo dessa linha:

Logo, concluímos que a variação do tempo, ou seja, o tempo decorrido é:

Também sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que o espaço percorrido pelo Lucas, entre o ponto que entra no alcatrão e o ponto em que entra na água, ou seja, o espaço percorrido ao longo do alcatrão, é:

Equivalentemente, também sabemos pela imagem que o espaço percorrido pelo Lucas na água, é

Logo, combinando as fórmulas apresentadas, podemos concluir que o tempo total T que o Lucas demora a percorrer o alcatrão mais a água, é:

Agora que temos a função que correlaciona o tempo total do Lucas, ao longo do alcatrão e da água, em função da distância x, queremos achar o valor x que minimiza o valor T. Ou seja, estamos perante um exercício de otimização. Como em qualquer exercício de otimização, precisamos de cálculo diferencial, quer isto dizer que precisamos de achar a derivada de primeira ordem de T em função de x, e igualar tal derivada a zero para achar os extremos da função, neste caso, acharmos o mínimo da função T em função de x. Mais concretamente, precisamos de resolver a seguinte equação:

Considerando que lidamos com raízes, recordemos a regra das derivadas das raízes:

Logo, concluímos então, que:

Ou seja, queremos resolver a seguinte equação:

Resolver esta equação em função de x e de forma analítica, é deveras complexo, e após tentar resolver, chegamos a um polinómio de x de grau quatro, que não tem solução simples e evidente.

Todavia, considerando as regras de trigonometria, sabemos que o seno de um determinado ângulo num triângulo retângulo, é o cateto oposto a dividir sobre a hipotenusa. Logo, olhando para a imagem lá em cima, conseguimos deduzir as seguintes relações trigonométricas:

Logo, juntando estas duas últimas funções, concluímos que

Sabendo de antemão a regra que correlaciona os índices de refração com a velocidade, apresenta logo no início do artigo, podemos concluir que:

Logo, da equação anterior dos senos, conclui-se:

Resultando assim na famosa lei de Snell-Descartes, lei de Snell ou lei de Descartes.

Conclusão

Concluímos que se o Lucas garantir que o seno do ângulo de incidência dividido pela velocidade no alcatrão for igual ao seno do ângulo de saída dividido pela velocidade na água, o tempo que o Lucas fará será sempre o mínimo possível, independentemente das posições dos becos e das dimensões da estrada ou da lagoa. A luz, tal como o Lucas que foge à polícia, obedece ao mesmo princípio, ou seja, a luz "desvia-se" para que o tempo que o feixe de luz percorre entre dois pontos possíveis, seja sempre o menor tempo possível, independentemente das distâncias envolvidas ou do ângulo de entrada.

A Física-Matemática no Consumo vs. Velocidade de um automóvel

Consumo versus velocidade para vários modelos de automóvel
Fonte: energy-ecology

Muitos testes automóveis, assim como os indicadores dos veículos, concluem que a velocidade onde o consumo é menor, é no intervalo entre cerca de 50 km/h e 80 km/h. Mas porquê? Faremos as respetivas deduções físico-matemáticas.

Leis de Newton

Num carro em movimento atuam essencialmente duas forças, a Força Motriz (F_m) do motor e a Força de atrito (F_a). Esta força de atrito tem essencialmente duas componentes, que é a força de atrito mecânico-dinâmica, que se encontra nos rolamentos e nas peças circulantes do carro, e que pelas leis da Física depende linearmente da velocidade; e a força de atrito aerodinâmica entre o carro e a atmosfera envolvente, que pelas mesmas leis da Física depende do quadrado da velocidade.

Essa força de atrito (F_a) poderá ser escrita então como:

A força (F) resultante no automóvel será então a força motriz menos a força de atrito:

Sabe-se pelas leis de Newton que:

logo, ficamos com a seguinte equação diferencial:

Consumo de combustível

O consumo de combustível do motor por unidade de tempo (r) num motor de combustão, para um funcionamento num ponto específico, é proporcional à Potência Motriz (P_m) do motor, mais uma constante (k) que serve para manter apenas o motor a trabalhar, como por exemplo, quando este está no ralenti, ou seja:

onde r é o consumo em litros por segundo (l/s). Sabemos todavia que a Potência é a variação de Energia sobre o tempo, e que a Energia ou o Trabalho, é a força vezes o deslocamento, então:

logo

reparemos que r é medido em litros por segundo que v é medido em metros por segundo, logo

concluindo-se que o consumo do veículo (c), em unidade de volume de combustível (litros), por unidade de espaço (metros), é dada pela seguinte expressão

Podemos agora colocar a equação acima em ordem à Força Motriz, ficando:

logo, juntando as fórmulas da equação diferencial lá de cima com esta última, temos:

para velocidades constantes v'=0, logo

Teste matemático

Faremos o teste matemáticos mais simples, assumindo

ou seja, desconsiderando por completo fatores de escala. O gráfico é o seguinte, o que se assemelha com os testes práticos do primeiro gráfico.

Compensa ir de Portugal até Espanha para atestar o depósito?

Com o aumento dos combustíveis em Portugal devido ao aumento da fiscalidade sobre os produtos petrolíferos, coloca-se a questão pertinente de saber até que ponto compensará ir até Espanha para atestar o depósito do veículo. A fórmula geral para a poupança é a seguinte:

É intuitivo apercebermo-nos que quanto mais longe o condutor do veículo estará da fronteira, menos compensará a referida viagem. Assim, a primeira parte da parcela T_qx(P_cp-P_cE) faz referência ao ganho pelo facto de haver um diferencial entre os preços dos dois lados da fronteira e a segunda parcela com sinal negativo faz referência ao custo da operação de ir até à fronteira atestar o depósito e posteriormente regressar até ao local de partida.

Ou seja, é necessário fazer a viagem de ida-e-volta, e multiplicá-la pelo consumo do veículo, dividindo posteriormente por 100 para sabermos quantos litros de combustível são necessários para fazer a referida viagem de ida-e-volta até ao posto de abastecimento espanhol. Posteriormente será necessário multiplicar o referido valor pelo preço do combustível em Espanha, pois parte-se do pressuposto que o condutor já partiria de Portugal com o veículo fazendo uso de combustível espanhol. Parte-se ainda do princípio que o veículo chega com o tanque vazio ao posto espanhol e que os custos por km percorrido se resumem ao combustível.

Apresenta-se de seguida o gráfico que relaciona a poupança com a distância até à fronteira para algumas condições comuns do grande público e dos preços correntes dos combustíveis à data de março de 2016.

Entender os escalões do IRS e do IRPF

Todos temos bem presente, infelizmente, que em Portugal e no Brasil, a Matemática desde Pedro Nunes, nunca mais recebeu o esplendor de outros áureos tempos. Tal patente iliteracia numérica de uma larga maioria da população, aliada à disseminação da democracia popular e por vezes circense, tem como consequência a pobreza, a corrupção, os baixos salários e uma economia pouco pujante. Mas se é um facto que o povo é por norma matematicamente iletrado, mais grave ainda, é atestar, que alguma classe política supostamente douta e academicamente letrada, envereda por sofismas matemáticos e ideológicos, apenas para obter dividendos políticos.

Um dos grandes sofismas do debate político, é de natureza fiscal, e dá pelo nome de escalões do IRS, ou escalões do IRPF (Imposto de Renda de Pessoa Física, no Brasil). Analise-mo-lo!

Três teoremas

Começarei por estabelecer três pequenos teoremas, os quais demonstrarei posteriormente.

1. O IRS é sempre progressivo independentemente do número de escalões.
2. O IRS é sempre progressivo em percentagem para um número de escalões superior a dois.
3. Um maior número de escalões não implica maior progressividade fiscal.

Teorema número 1

Podemos afirmar, que caso houvesse apenas um escalão de IRS, ou seja, uma percentagem fixa que cada um pagava de imposto dos seus rendimentos, que mesmo nesse caso, poderíamos dizer que o imposto era progressivo à luz da norma constitucional, mais precisamente o n.º 1 do artigo 104.º da Constituição da República Portuguesa que refere que "o imposto sobre o rendimento pessoal visa a diminuição das desigualdades e será único e progressivo, tendo em conta as necessidades e os rendimentos do agregado familiar". Caso o IRS fosse então, por exemplo 10% para todos os contribuintes, ou seja uma taxa fixa para qualquer rendimento, já era, de facto, progressivo, pois alguém que ganhasse 1000€ por mês pagaria 100€ e alguém que ganhasse 10000€ pagaria 1000€. Neste caso mais simples, estamos perante uma operação linear, ou seja, uma reta diagonal que passa pela origem, num gráfico onde o eixo horizontal poderia ser o rendimento coletável, e o eixo vertical o valor que era de facto pago pelo contribuinte.

Valor de imposto realmente pago para taxa fixa de 10%.
O pagamento real já é progressivo em função dos rendimentos.

Demonstrámos assim que para um número de escalões igual a 1, ou seja, uma taxa fixa, o IRS já seria progressivo. Este princípio fiscal remonta à época bíblica, com a instituição do denominado dízimo, onde cada membro deveria pagar 10% dos seus rendimentos, tendo-se assim já em conta a capacidade contributiva do contribuinte. Alguns países, como a Rússia, aplicam este modelo fiscal, ou seja, aplicam apenas uma taxa fixa para todos os rendimentos, sendo como explanámos, a taxação já enquanto tal, progressiva.

Teorema número 2

Consideremos mesmo assim a progressividade, não do ponto de vista nominal, ou seja, aquilo que cada contribuinte realmente paga, mas do ponto de vista percentual, ou seja, a percentagem real do seu rendimento, que o contribuinte realmente paga de imposto. E demonstra-se que com dois escalões, o IRS, mesmo percentualmente, já é progressivo. Caso demonstremos que para dois escalões o IRS é progressivo, deduz-se facilmente por inferência, que o IRS também é progressivo, para qualquer número de escalões maior que dois.

Imaginemos então que existem dois escalões de IRS, um de 10% até 1000€ por mês (uso o período mensal por questões de simplicidade), e outro de 20% a partir de 1000€ por mês. Alguém por exemplo que ganhasse 1500€ pagaria 10% pelos primeiros 1000€ e 20% pelos 500€ adicionais, ou seja, pagaria 200€:

Na realidade, este contribuinte teve uma taxa real de 200€/1500€, ou seja de 13,3%. Podemos ainda estabelecer a equação geral, referindo que o valor pago de IRS a aplicar nesta combinação de escalões é:

Onde r é o rendimento coletável do contribuinte e v(r) é o valor em dinheiro que o contribuinte paga de imposto. Até 1000€ o contribuinte paga sempre apenas 10% do seu rendimento. A partir de 1000€, o contribuinte paga sempre pelo menos 100€ fixos, que é os 10% de 1000€, acrescidos de 20% do valor restante, ou seja, 20% do valor que acresce aos 1000€. Neste caso temos o seguinte gráfico:

Valor realmente pago. Dois escalões.
O primeiro escalão até 1000€ de 10%,
O segundo escalão a partir de 1000€ de 20%

Se quisermos todavia fazer o cálculo da percentagem real que o contribuinte paga, teremos de dividir o valor total de imposto pago, pelo valor do rendimento coletável, ou seja, a fórmula anterior fica a seguinte:

onde p(r) é o valor real em percentagem de IRS realmente pago. No exemplo em apreço, ficamos com o seguinte gráfico:

Valor percentual realmente pago. 10% até 1000€. O segundo escalão é de 20%,
mas aplica-se os 20% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 1000€.

Façamos outro caso extremo com dois escalões, ou seja, apesar do uso de dois escalões, um sistema altamente progressivo. O primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, e um segundo escalão 30% a partir desse valor.

Valor percentual realmente pago. 5% até 500€. O segundo escalão é de 30%,
mas aplica-se os 30% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 500€.

Neste caso, apesar de termos apenas dois escalões, verifica-se que o valor pago de imposto, mesmo analisando-o apenas do ponto de vista percentual, é realmente bastante progressivo.

Teorema número 3

A forma mais fácil para demonstrar o Teorema 3, visto que é um teorema que está postulado na negativa, é demonstrar um caso onde um maior número de escalões comporte menor progressividade fiscal. Regressemos ao gráfico anterior, onde se apresentou um caso com dois escalões, o primeiro até 500€ e de 5% e o segundo de 30% para valores superiores a 500€. O resultado do valor percentual realmente pago, apresentou-se nesse gráfico. Se porventura apresentarmos um gráfico com um número de escalões superior onde se verifique menor progressividade fiscal, o teorema ficaria automaticamente demonstrado, visto que o mesmo está postulado na negativa.

Imaginemos então um exemplo com três escalões, o primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, um segundo escalão de 7% entre 500€ e 1500€, e um terceiro escalão de 10% a partir de 1500€. Neste caso, com um maior número de escalões, ou seja, três em vez de dois, a progressividade do imposto seria bem menor, como pode ser observado no seguinte gráfico:

Sistema com três escalões. 1.º de 5% até 500€.
2.º de 7% entre 500€ e 1500€ e 3.º de 10% a partir de 1500€.
A progressividade é mais baixa que no caso anterior com dois escalões.

Conclusão

Engane-se o eleitor que considere que os políticos são socialmente mais justos por aumentarem o número de escalões do IRS ou do imposto de Renda. Mais importante que o número de escalões, para a progressividade fiscal, é a sua estrutura e configuração. Em acréscimo, parece-me que essa dialética sofista tem sido usada, para aumentando o número de escalões e por conseguinte ludibriar o eleitorado sobre a justeza deste tipo de ações, de facto, aumentar-se na globalidade este imposto, mexendo nas taxas.

Reparemos na real taxa de IRS paga em Portugal nos anos de 2012 e 2013, num gráfico que produzi e partilhei na Wikimédia. Independentemente do número de escalões, que diminuíram em 2013 em relação a 2012, como pode ser visto pelo inferior número de troços, o mais importante é o valor percentual dos mesmos. 2013 foi o ano em que o ministro das finanças de então Vitor Gaspar, em clima de austeridade, referiu que haveria um "enorme aumento de impostos". 

Faço por conseguinte um apelo à classe política para que não altere o número de escalões do IRS, pois aumenta a entropia e a confusão junto do eleitorado, e caso queira obter mais ou menos receita fiscal, que se limite a alterar o valor das taxas, assim como os seus limites. Qualquer argumentário que se preze por ser socialmente mais justo apenas com o aumento do número de escalões, ou economicamente mais liberal apenas com a sua redução, é um argumentário extremamente redutor e na maioria dos casos, demagógico.

O paradoxo do acondicionamento de esferas

Todos sabemos que os paradoxos são objetos estranhos. Normalmente não gostamos muito de paradoxos porque não percebemos bem o que a natureza nos quer dizer com eles. Neste exemplo, a noção de distância é a usual euclidiana; as esferas são centradas num ponto e têm um raio constante; os cubos são de ângulos retos e de unidades normalizadas.

Espaço bidimensional

Para simplificar, partimos do exemplo 2D, onde 2²=4 circunferências estão centradas nos pontos {(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionados e inscritos num quadrado 4x4 centrado em (0,0). É sempre possível encaixar o círculo vermelho centrado em O=(0,0) inscrito e portanto tangente às 4 circunferências.

Aqui o raio do círculo vermelho é menor do que meio lado do quadrado L=4/2=2, e por isso o círculo vermelho está contido no quadrado.


Todavia, qual é o raio do círculo vermelho?

O Teorema de Pitágoras (T.P.) aqui diz-nos que a distância de O ao centro de cada uma das 4 circunferências é . Como cada circunferência tem raio r=1, então o círculo vermelho tem raio menor que L=2.

Espaço tridimensional

No caso de dimensão 3D, onde as circunferências passam a esferas teremos 2³=8 esferas centradas nos pontos {(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num cubo 4x4x4. É sempre possível encaixar uma esfera púrpura centrada em O=(0,0,0) inscrita e portanto tangente às 8 esferas.

Aqui o raio da esfera púrpura é menor do que meia aresta do cubo L=4/2=2, e por isso a esfera púrpura está contida no cubo.

Todavia, qual é o raio da esfera púrpura?

Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., referindo que a esfera púrpura tem raio , ou seja a esfera púrpura tem um raio menor que L=2.

E para esferas no espaço hiperdimensional?

No caso de dimensão 9D, onde as esferas passam a hiper-esferas em 9D teremos 2⁹=512 hiper-esferas centradas nos pontos {(1,1,1,1,1,1,1,1,1),(1,1,1,1,1,1,1,1,-1), ... ,(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1),(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num hipercubo 4x4x4x4x4x4x4x4x4. É sempre possível encaixar uma hiper-esfera negra centrada em O=(0,0,0,0,0,0,0,0,0) inscrita e portanto tangente às 512 hiper-esferas.

Aqui ocorre o início do paradoxo. O raio da hiper-esfera negra é igual à meia aresta L do hipercubo, sendo L=4/2=2, e por isso a hiper-esfera negra está contida no cubo mas é tangente também a ele.

Todavia qual é o raio da hiper-esfera negra?

Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., concluindo que a hiper-esfera negra terá um raio igual a:

A partir da nona dimensão em diante, ou seja, para n>9, constata-se todavia que

e por isso a hiper-esfera negra ultrapassará os limites das faces do hipercubo que contém as 2ⁿ hiper-esferas e que inscrevem a hiper-esfera negra. Esta extravasação das faces do hipercubo em nD, acabará por envolver e imergir o hipercubo, fazendo-o quase desaparecer dentro da hiper-esfera negra. 

A partir de n=9 em diante, o raio da hiper-esfera interior, extravasa a face do hipercubo

Todavia, interessantemente, como cada um dos 2ⁿ vértices do hipercubo está à distância da origem O, de

os vértices do hipercubo estarão sempre mais longe da Origem do que os centros das hiper-esferas estão à origem. Por isso, ao acrescentarmos dimensões, a hiper-esfera negra continuará se expandindo contra os vértices nunca extravasando nenhum, porque cada hiper-esfera emparelha com cada um dos vértices do hipercubo. 

A hiper-esfera negra extravasa as faces do hipercubo por entre os interstícios das hiper-esferas.